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在[[测度论]]中，'''勒贝格测度'''（Lebesgue measure）是[[欧几里得空间]]上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于[[实分析]]，特别是用于定义[[勒贝格积分]]。可以赋予勒贝格测度的集合称为'''勒贝格可测集'''；勒贝格可测集 {{math|''A''}} 的[[测度]]记作 {{math|''λ'' (''A'')}} 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 {{math|∞}} ，但是即使如此，在假设[[选择公理]]成立时，{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了[[巴拿赫-塔斯基悖论]]这样的命题，它是选择公理的一个结果。

勒贝格测度以法国数学家[[昂利·勒貝格|昂利·勒贝格]]命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。

== 问题起源 ==
人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射 {{math|''m''}} ，它能将实数集的子集 {{math|''E''}} 映射到非负实数 {{math|''m''(''E'')}} ，並称这個数为集合 {{math|''E''}} 的'''测度'''。最理想的情况下，{{math|''m''}} 应该具有以下性质：
* {{math|''m''}} 对于实数集的所有子集 {{math|''E''}} 都有定义。
* 对于一个区间 {{math|[''a'', ''b'']}}，{{math|''m''([''a'', ''b''])}} 应当等于其长度 {{math|''b'' − ''a''}}。
* {{math|''m''}} 具有可数可加性。如果 {{math|(''E''<sub>''n''</sub>)}} 是一列不相交的集合，并且 {{math|''m''}} 在其上有定义，那么 <math>m\left(\bigcup_n E_n\right) = \sum_n m(E_n) </math> ，其中 {{math|⋃|}} 表示[[并集|聯集]]。
* {{math|''m''}} 具有平移不变性。設集合 {{math|''E''}} 及 {{math|''E''+''k'' {{=}} {''x''+''k'' : ''x'' ∈ ''E''}&nbsp;}}（即將 {{math|''E''}} 的每個元素各加上同一個實數 {{math|''k''}} 所得到的集合），則 {{math|''m''(''E''+''k'') {{=}} ''m''(''E'')}} 。

遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是[[若尔当测度]]，它只满足有限可加性。

== 定义 ==
区间<math>I=[a,b]</math>的长度定义为<math>|I|=b-a</math>。对<math>E\subseteq\mathbb{R}</math>，勒贝格外测度定义为

对每一列能覆盖<math>E</math>的开区间<math>\{I_k\}_{k\in\mathbb{N}}</math>，作长度和<math>\mu=\sum_{k=0}^\infty{|I_k|}</math>。所有这些<math>\mu</math>组成一个有下界的数集，下确界称为勒贝格外测度，记做<math>\lambda^*(E)</math>。

勒贝格测度定义在勒贝格[[Σ-代数|σ代数]]上。若集合<math>E</math>滿足：

:對所有<math>A\subseteq \mathbb R</math>，皆有<math>\lambda^*(A)=\lambda^*(A\cap E)+\lambda^*(A\cap E^c),</math>

則<math>E</math>為勒贝格σ代数的元素，稱為'''勒貝格可測集'''。对勒贝格可测集，其勒贝格测度<math>\lambda (E)</math>就定義為勒贝格外测度<math>\lambda^*(E)</math>。

不在勒贝格[[Σ-代数|σ代数]]中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格[[Σ-代数|σ代数]]严格包含于<math>\mathbb{R}</math>的幂集。

== 例子 ==

* 任何区间都是勒贝格可测的。闭区间<math>[a,b]</math>、开区间<math>(a,b)</math>的勒贝格测度都等于区间长度<math>b-a</math>。
* 如果 ''A'' 是区间 [''a'', ''b''] 和 [''c'', ''d'']的[[笛卡尔积]]，则它是一个长方形，测度为它的面积 (''b''−''a'')(''d''−''c'')。
* [[博雷爾集|博雷尔集]]都是勒贝格可测的。反之不然，存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。
* 可数集的勒贝格测度为0。特别是，有理数集的勒贝格测度为0，尽管有理数集是稠密的。
* [[康托尔集]]是一个勒贝格测度为零的[[不可数集]]的例子。
* 假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合，例如[[维塔利集合|维塔利集]]。决定性公理与选择公理是不相容的。
* [[奥斯古德曲线]]（Osgood curve）是平面简单曲线，但具有大于0的勒贝格测度。[[龍形曲線|龙形曲线]]是另一个例子。

== 性质 ==
設集合 {{math|''A''}} 与 {{math|''B''}} 是在 {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：

# 如果 {{math|''A''}} 是一列区间 {{math|(''I<sub>n</sub>'')}} 的[[笛卡儿积|笛卡爾積]] <math>\prod_n I_n</math> ，則 {{math|''A''}} 是勒贝格可测的，并且 <math>\lambda (A)= \prod_n \left|I_n\right|</math>  ，其中 {{math|{{!}} ''I'' {{!}}}} 表示区间 {{math|''I''}} 的长度。
# 如果 {{math|''A''}} 是[[有限]]个或[[可数]]个两两互不相交的勒贝格可测集 {{math|(''E<sub>n</sub>'')}} 的[[并集]]，则 {{math|''A''}} 也是勒贝格可测的，并且  <math>\lambda\left(A\right) = \sum_n \lambda(E_n) </math>。
# 如果 {{math|''A''}} 是勒贝格可测的，那么它相对于<math>\mathbb{R}^n</math>的补集也是可测的。
# 对于每个勒贝格可测集 {{math|''A''}} ， <math>\lambda(A)\ge0</math> 。
# 如果 {{math|''A''}} 與 {{math|''B''}} 是勒贝格可测的，且 {{math|''A'' ⊆ ''B''}} ，則 <math>\lambda(A)\le\lambda(B)</math> 。
# 可数多个勒贝格可测集的[[交集]]或者[[并集]]，仍然是勒贝格可测的。
#<math>\mathbb{R}^n</math>上的[[博雷爾集]]（即由[[开集|開集]]經可數多次交、並、差運算得到的集合）都是勒贝格可测的。<ref>{{cite web | url=http://math.stackexchange.com/a/556756/29780 | title=What sets are Lebesgue-measurable? | publisher=math stack exchange | accessdate=26 September 2015 | author=Asaf Karagila}}</ref><ref>{{cite web | url=http://math.stackexchange.com/a/142385/29780 | title=Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras? | publisher=math stack exchange | accessdate=26 September 2015 | author=Asaf Karagila}}</ref>
# 勒贝格可测集“几乎”是开集，也“几乎”是闭集。具体来说，<math>E</math>是勒贝格可测集当且仅当对任意的<math>\varepsilon>0</math>存在开集<math>G</math>与闭集<math>F</math>使得<math>F\subset E\subset G</math>且<math>\lambda(G\setminus F)<\varepsilon</math>。此性质曾用来定义勒贝格可测性。（见勒贝格测度的正则性定理）
#勒贝格测度既是局部有限的，又是内正则的，所以是[[拉東測度|拉东测度]]。
#非空开集的勒贝格测度严格大于0，所以勒贝格测度的[[支集]]是全空间<math>\mathbb{R}^n</math>。
#如果 {{math|''A''}} 是勒贝格零测集，即 <math>\lambda(A)=0</math> ，则 {{math|''A''}} 的任何一个子集也是勒贝格零测集。
# 如果 {{math|''A''}} 是勒贝格可测的，且 {{math|''B'' {{=}} {''x''+''k'' : ''x'' ∈ ''A''}&nbsp;}}（即將 {{math|''A''}} [[平移]] {{math|''k''}} 個單位），則 {{math|''B''}} 也是勒贝格可测的，并且 <math>\lambda(B)=\lambda(A)</math> 。
# 如果 {{math|''A''}} 是勒贝格可测的，且 {{math|''B'' {{=}} {''kx'' : ''x'' ∈ ''A''}&nbsp;}}（即將 {{math|''A''}} [[縮放]] {{math|''k''}} 倍，<math>k>0</math>），則 {{math|''B''}} 也是勒贝格可测的，并且 <math>\lambda(B)=k^n\cdot\lambda(A)</math> 。
# 更一般地，设 {{math|''T''}} 是一个[[线性变换]]，{{math|det(''T'')}} 為其[[行列式]]。如果 {{math|''A''}} 是勒贝格可测的，则 {{math|''T''(''A'')}} 也是勒贝格可测的，并且 <math>\lambda(T(A))=|\det(T)|\lambda(A)</math> 。
# 設 {{math|''f''}} 是一个從 {{math|''A''}} 到<math>\mathbb{R}^n</math>上的连续[[单射]]函数。如果 {{math|''A''}} 是勒贝格可测的，则 {{math|''f''(''A'')}} 也是勒贝格可测的。

简要地说，<math>\mathbb{R}^n</math>的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的[[σ-代数]]，且 {{math|''λ''}} 是其上唯一的[[完备]]的、[[平移]]不变的、满足<math>\lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1</math> 的测度。

勒贝格测度是[[σ-有限测度]]。

== 零测集 ==
{{main|零测集}}
<math>\mathbb{R}^n</math>的子集 ''A'' 是'''零测集'''，如果对于任意<math>\varepsilon>0</math>，''A'' 都可以用可数多个盒（即 ''n'' 個区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为<math>\varepsilon</math>。所有[[可数集]]都是零测集。

如果<math>\mathbb{R}^n</math>的子集的[[豪斯多夫维数]]小于<math>n</math>，那么它是关于''<math>n</math>''维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于<math>\mathbb{R}^n</math>上的[[欧几里得度量]]（或任何与其利普希茨等价的度量）而言。另一方面，一个集合可能[[拓撲維數|拓扑维数]]小于<math>n</math>，但具有正的<math>n</math>维勒贝格测度。一个这样的例子是[[史密斯-沃尔泰拉-康托尔集]]，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个集合''A''是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合''B''，与''A'' 的[[对称差]]是零测集，然后证明''B''可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

== 勒贝格测度的构造 ==
勒贝格测度的现代構造基于[[外测度]]<ref>{{cite book|title=Real analysis|url=https://archive.org/details/realanalysis00royd_768|last1=Royden|first1=H.L.|date=1988|publisher=Macmillan|isbn=978-0024041517|edition= 3rd |location=New York|page=[https://archive.org/details/realanalysis00royd_768/page/56 56]}}</ref>，并应用卡拉西奥多里扩张定理。

固定<math>n\in\mathbb N.</math><math>\R^n</math>中的'''盒子'''是形如<math>B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]</math>的集合，其中<math>b_i\ge a_i</math>，连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为<math>\operatorname{vol}(B)=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i)</math>

对于<math>\mathbb{R}^n</math>的任何子集''A''，可以定义它的外测度<math> \lambda^*(A): </math>

:<math> \lambda^*(A) = \inf \Bigl\{\sum_{B\in \mathcal{C}}\operatorname{vol}(B):\mathcal{C}</math>是可数个盒子的集合，它们的并集覆盖了<math>A\Bigr\}.</math>

然后定义集合''A''为勒贝格可测的，如果对于所有集合<math>S\subset \R^n</math>，都有：

:<math> \lambda^*(S) = \lambda^*(A \cap S) + \lambda^*(S \setminus A). </math>

这些勒贝格可测的集合形成了一个[[σ代数]]。对于任何勒贝格可测的集合''A,'' 其勒贝格测度定义为<math> \lambda(A)=\lambda^*(A)</math>

勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据[[维塔利集合|维塔利定理]]，存在实数'''R'''的一个勒贝格不可测的子集。如果''A''是<math>\R^n</math>的子集，且其测度为正，那么''A''便有勒贝格不可测的子集。

1970年，{{le|羅伯特·M·梭羅維|Robert M. Solovay}}证明了，在不带选择公理的[[策梅洛-弗兰克尔集合论]]中，勒贝格不可测集的存在性是不可证的（见[[梭羅維模型]]）。

== 与其他测度的关系 ==
若 ''A'' [[博雷尔测度|博雷尔可測]]，則其博雷爾測度与勒贝格测度一致；然而，更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。

[[哈尔测度]]可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的<math>\mathbb{R}^n</math>是一个局部紧群）。

豪斯多夫测度（参见[[豪斯多夫维数]]）是勒贝格测度的一个推广，对于测量<math>\mathbb{R}^n</math>的维数比''n''低的子集是很有用的，例如'''R'''³上的曲线、曲面，以及[[分形]]集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。

可以证明，無法在无穷维空间上定義类似的勒贝格测度。

==参看==
* 勒贝格密度定理
*[[刘维尔数|刘维尔数集的勒贝格测度]]

==參考文獻==
{{reflist}}

[[Category:测度论|L]]