查看“︁勒让德多项式”︁的源代码

{{Refimprove|time=2021-04-12T12:56:46+00:00}}
{{NoteTA
|G1=Math
|G2=Physics
}}

[[数学]]上，'''勒让德函数'''指以下'''勒让德微分方程'''的解：
:<math>(1 - x^2 )\frac{{\mathrm{d}^2 P(x)}}{{\mathrm{d}x^2 }} - 2x\frac{{\mathrm{d}P(x)}}{{\mathrm{d}x}} + n(n + 1)P(x) = 0.</math>
为求解方便一般也写成如下[[施图姆-刘维尔理论|施图姆-刘维尔形式]]:
:<math>{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left[ (1-x^2) {\mathrm{d} \over \mathrm{d} x} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.</math>

上述方程及其解函数因[[法国]][[数学家]][[阿德里安-马里·勒让德]]而得名。勒让德方程是[[物理學]]和其他技術領域常常遇到的一類[[常微分方程]]。當試圖在[[球坐標]]中求解三維[[拉普拉斯方程]]（或相關的其他[[偏微分方程]]）時，問題便會歸結為勒讓德方程的求解。  

勒让德方程的解可写成标准的[[幂级数]]形式。当方程满足 <math>|x| < 1</math> 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当{{mvar|n}} 为非负[[整数]]，即<math>n = 0, 1, 2,\ldots</math>.

== 正交性 ==

勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 <math> -1 \leq x \leq 1</math> 关于[[Lp空间|L<sup>2</sup>内积]]满足[[正交性]]，即：

:<math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,\mathrm{d}x = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>

其中 <math>\delta_{mn}</math> 为[[克罗内克δ]]记号，当<math>m = n</math> 时为1，否则为0。 
事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式 <math>{1, x, x^2, \ldots}</math> 进行[[格拉姆-施密特正交化]]。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的[[施图姆-刘维尔理论|Sturm-Liouville问题]]：

:<math>{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left[ (1-x^2) {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} P(x) \right] = -\lambda P(x),</math>

其中本征值 <math>\lambda</math> 对应于原方程中的 <math>n(n+1)</math>。

== 部分实例 ==

下表列出了前11阶（{{mvar|n}} 从0到10）勒让德多项式的表达式：

<center>
{| class="wikitable"
|-----
| width="20%" align="center" | '''n'''
| align="center" | <math>P_n(x)\,</math>
|-----
| align="center" | 0 || <math>1\,</math>
|-----
| align="center" | 1 || <math>x\,</math>
|-----
| align="center" | 2
| <math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,</math>
|-----
| align="center" | 3
| <math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,</math>
|-----
| align="center" | 4
| <math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,</math>
|-----
| align="center" | 5
| <math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,</math>
|-----
| align="center" | 6
| <math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,</math>
|-----
| align="center" | 7
| <math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,</math>
|-----
| align="center" | 8
| <math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,</math>
|-----
| align="center" | 9
| <math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,</math>
|-----
| align="center" | 10
<td><math>\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10} - 109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,</math>
|}
</center>

前6阶（{{mvar|n}} 从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：
[[File:Legendre_poly.svg|700px|center]]

== 在物理学中的应用 ==
在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算[[点电荷]]在空间中激发的[[电势]]时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的[[级数]]展开：
:<math>\frac{1}{\left| \mathbf{x} -\mathbf{x}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2} - 2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)</math>

其中<math>r</math>和<math>r'</math>分别为位置[[向量]]<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{x}^\prime</math> 的长度(其中<math>r</math>和<math>r'</math>分别為對位置[[向量]]<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{x}^\prime</math> 的長度進行測量的結果)，<math>\gamma</math>为两向量的夹角(<math>\gamma</math>為對兩向量的夾角展開估計的結果)。当<math>r>r'</math>时上式成立。该式计算了在<math>\mathbf{x}'</math>处的点电荷激发的[[电场]]在<math>\mathbf{x}</math>点引起的电势大小。在对空间中连续分布的电荷引起的电势大小进行计算时(當計算由連續分佈之電荷所產生的電位時)，将涉及对上式进行[[积分]](需積分上式中間項)。这时，上式右边的勒让德多项式展开将对此积分的计算带来很大的方便(逐項積分上式右邊的展開式可得一級數解，此級數之第一項叫做電單極矩，第二項叫做[[電偶極矩]]，第三項叫做電四極矩)。

静电场中具有轴对称[[边界条件]]的问题可以归结为在[[球坐标系]]中用[[分离变量法]]求解关于电势函数的[[拉普拉斯方程]]<math>\nabla^2 \Phi(\mathbf{x})=0</math>（与和对称轴的夹角无关）。若设<math>\widehat{\mathbf{z}}</math>为对称轴，<math>\theta</math>为观测者位置向量和<math>\widehat{\mathbf{z}}</math>轴的夹角，则势函数的解可表示为：

:<math>
\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta).
</math>

其中<math>A_\ell</math>和<math>B_\ell</math>由具体边界条件确定<ref>严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，ISBN 7-312-00799-6，第140页</ref>。

<!--英文版“多极展开”内容与前面基本重复，略去未译。-->

== 其他性质 ==
勒让德多项式的奇偶性由其阶数确定。当阶数{{mvar|k}}为[[偶数]]时，<math>P_k(x)</math>为[[偶函数]]；当阶数{{mvar|k}}为[[奇数]]时，<math>P_k(x)</math>为[[奇函数]]，即：
:<math>P_k(-x) = (-1)^k P_k(x). \,</math>

=== 递推关系 ===
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系：
:<math> (n+1) P_{n+1} = (2n+1) x P_n - n P_{n-1}\,</math>

另外，考虑[[微分]]后还有以下递推关系：
:<math>{x^2-1 \over n} {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} P_n = xP_n - P_{n-1}.</math>
:<math>(2n+1) P_n = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left[ P_{n+1} - P_{n-1} \right].</math>

其中最后一个式子在计算勒让德多项式的[[积分]]中较为有用。

使多项式的值：
<syntaxhighlight lang="c++">
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	float n,x;
	float polyaendl;

	return 0;
}

float polya(float n, float x)
{
	if (n == 0) return 1.0;
	eurn x;
	else return ((2.0 * n - 1.0) * x * polya(n - 1.0, x) - (n - 1.0) * polya(n - 2.0, x)) / n;
}
</syntaxhighlight>

== 移位勒让德多项式 ==
移位勒让德多项式<math>\tilde{P_n}(x)</math>的正交区间定义在<math>[0,1]</math>上，即：

:<math>\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,\mathrm{d}x = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}.</math>

其显式表达式为：
:<math>\tilde{P_n}(x)=(-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k.</math>

相应的[[罗德里格公式]]为：

:<math>\tilde{P_n}(x) = ( n!)^{-1} {\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n } \left[ (x^2 -x)^n \right].\, </math>

下表列出了前4阶移位勒让德多项式：

<center>
{| class="wikitable"
|'''n'''
| align=center | <math>\tilde{P_n}(x)</math>
|-
| 0
| 1
|-
| 1
| <math>2x-1</math>
|-
| 2
| <math>6x^2-6x+1</math>
|-
| 3
| <math>20x^3-30x^2+12x-1</math>
|}
</center>

== 分数阶勒让德多项式 ==

分数阶勒让德多项式通过将[[分数微积分|分数阶微分]]和通过[[Γ函数]]定义的非整数[[阶乘]]代入[[罗德里格公式]]中来定义。

==极限关系==
;[[大Q勒让德多项式]]→'''勒让德多项式'''
令大q雅可比多项式中的<math>c=0</math>,即勒让德多项式

令[[连续q勒让德多项式]] q->1得勒让德多项式

<math> \lim_{q \to 1}P_{n}(x|q)=P_{n}(x)</math>

[[小q勒让德多项式]]→'''勒让德多项式'''

<math>\lim_{q \to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x)</math>

== 参见 ==
*[[高斯求积]]
*[[伴随勒让德多项式]]
*[[勒让德有理函数]]

== 外部链接 ==
*[http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html 沃尔夫勒姆（Wolfram）数学世界对勒让德多项式的介绍（英文）] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html |date=20100306181604 }}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*2. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4（参见 [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_332.htm 第8章] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_332.htm |date=20090311163237 }}和[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm 第22章] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm |date=20090919135437 }}）

{{Authority control}}
[[Category:数学物理|L]]
[[Category:微分方程|L]]
[[Category:特殊超几何函数|L]]
[[Category:正交多項式|L]]