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在[[数理逻辑]]中，经典'''勒文海姆–斯科伦定理'''（Löwenheim–Skolem theorem）声称对于标识（signature）为 <math><\mathbf{C}, \mathbf{F}, \mathbf{R}, \sigma></math> 的任何可数[[一阶逻辑]]语言 ''L'' 和 ''L''-结构 M，存在一个可数无限[[基本子结构]] ''N'' <math>\subseteq</math> ''M''。
这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 ''L''-理论都有可数的模型。

这里的标识由常量集合 <math>\mathbf{C}</math>、函数集合 <math>\mathbf{F}</math>、关系符号集合 <math>\mathbf{R}</math>、和表示函数和关系符号的元数的函数 <math>\sigma: \mathbf{F} \cup \mathbf{R} \rightarrow \mathbb{N}</math> 组成。在这个上下文中 ''L''-结构，由底层集合(经常指示为“''M''”)和 ''L'' 的函数和关系符号的释义组成。''L'' 的常量在 ''M'' 中的释义就是 ''M'' 的成員。类似的，<math>\sigma(f) \ </math>-元函数 <math>f \in \mathbf{F}</math> 被指派为 ''M'' 中的 <math>\sigma(f) \ </math>-元函数 <math>M^{\sigma(f)} \rightarrow M</math> 的图，而<math>\sigma(R) \ </math>-元关系 <math>R \in \mathbf{R}</math> 的释义被指派为 ''M'' 中的 <math>\sigma(R) \ </math>-元关系。语言 ''L'' 是可数的，如果在 ''L'' 中的常量、函数和关系符号是可数的。

==例子==

一个周知的不可数模型是所有[[实数]]的集合，带有次序关系 "<" 作为唯一的关系，和加法与乘法作为函数。[[有序域]]的公理是一阶句子；[[最小上界公理]]不是一阶的而是[[二阶逻辑|二阶]]的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域，因此不同于实数域，但满足了实数域所满足的'''所有'''一阶句子。(作为可数的有序域，它不能满足最小上界公理)。例如，特定[[多项式]]方程有解(在这个模型中)的断言是一阶句子，因此在断言了其存在的可数子模型中是真的，当且仅当它在实数域中是真的。

数学家考虑的多数数学结构，特别是多数[[范畴论 (数学)|范畴]]的多数成员，是这里定义意义上的模型。勒文海姆–斯科伦定理告诉我们如果它们是不可数的，它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。

==证明梗概==

对于在模型 ''M'' 中为真的如下形式的一阶句子

:<math>\forall x\  \exists y\  R(x,y)</math>

或

:<math>\forall x_1\ \cdots\ \forall x_n\ \exists y_1\ \cdots\ \exists y_m R(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)</math>

有一个'''[[斯科伦范式|Skolem 函数]]''' ''f''，就是说映射 ''x'' 到断言了其存在的 ''y'' 的函数，使得

:<math>\forall x\ R(x,f(x))</math>

在 ''M'' 中为真。因为有很多这样的 ''y'' 的值，必须启用[[选择公理]]来推出 Skolem 函数的存在。

这个模型的某些成员可以直接用一阶公式来定义，就是说，它们的存在被如下形式的句子所断言

:<math>\exists y_1\ \cdots\ \exists y_m R(y_1,\dots,y_m)</math>

并且因为只有可数多个一阶公式，只有可数多个成员可以用这种方式直接定义。

证明的想法是: 开始于这个模型的所有一阶可定义成员的集合，并接着在所有 Skolem 函数下[[闭包|闭合它]]。这个闭包必定最多是可数无限的。这个模型的子集是这个定理断言了其存在的子模型。

==更一般的 "勒文海姆–斯科伦定理"==

上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的勒文海姆–斯科伦定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理，断言更小的子模型的存在(“向下”勒文海姆–斯科伦定理)；其他一些断言更大基数的模型的存在(“向上”勒文海姆–斯科伦定理)。

== 勒文海姆-斯科伦定理在一阶逻辑中的定义和证明 ==

勒文海姆-斯科伦'''定理''':  如果 <math>\Delta</math> 是一个含有'''有限可数个数的'''命题组成的集合，并且集合 <math>\Delta</math> 是'''可以满足的'''(<math>\Delta</math> SAT),那么至少存在一个模型(或叫作指派，或叫作解释 (Interpretation)) 用符号记作 '''I''', <math> I \models \Delta</math> ,且这个模型 I 指派解释也是可数的

'''证明:''' 
:前提:在语言集合L中如果我们有一个可满足式的有限可数命题公式的集合 <math>\Delta</math>，且<math>\phi \in \Delta</math>,<math>\phi</math>是<math>\Delta</math>中的命题公式
:如果我们有一个集合，用字母记作 S ,并且  <math>S = \bigcup_{\phi \in \Delta} CL(\phi) </math>，其中集合 <math>CL(\phi)</math>是由命题公式<math>\phi</math>转换成子句结构(Clause)所组成的集合，我们有一个定理(记作Th): 如果<math>\psi</math>是可满足式的(Satisfaisable)公式，当且仅当Clause(<math>\psi</math>)也是可满足式的，通过这个定理，我们确保S是可满足的，并且也是可数的
:如果我们有一个基于语言集合L的等价公理集合，记作<math> E_= </math>(该集合是为了用于Skolemisation方法中,也就是<math>\phi</math>在转化成Clause(<math>\phi</math>)过程中，去除有限量词<math>\exist</math>的方法Skolemisation,化为Skolem范式)
:那么很显然 <math> S\bigcup E_=</math> 也是可满式的集合，那么 <math>IF( S\bigcup E_=)</math> 同样是可满足的
:由于语言集合L中的元素是可数的 所以<math>IF( S\bigcup E_=)</math> 是也是有限可数的集合
:如果我们有一个模型，记作 I 且 <math> I \models IF( S\bigcup E_=)</math>,赫尔不兰特定理(Theoreme de Herbrand)告诉我们如果我们要构造一个模型M,并且<math> M \models S\bigcup E_=</math>，那么模型M的模型解释指派域(记作)D是一个以I(t)为元素的指派域(其中t是在S中的所有的项)，那么模型M是通过Congurence关系来解释指派等价性关系(Egalite)
:由于我们说语言理合L是可数的，那么指派解释域D也是可数的
:那么我们可以构造另一个模型M'，并且基于解释域 <math>D/M_=</math>(我们通过等价关系来指派解释等价性)且<math>M'\models S</math>,那么M'必然也是可数的，那么根据Th定理，<math>M'\models S</math> ,那么我们就可以说 <math>M'\models \Delta</math>
:所以我们证明了勒文海姆-斯科伦定理

==参见==
* [[Skolem悖论]]
* [[模型论]]

==引用==
* Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131
* María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510
* Rothmaler, Philipp (2000), "Introduction To Model Theory", CRC

{{数理逻辑}}

[[Category:模型论|L]]
[[Category:数学定理|L]]