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在[[理论物理学|理论物理]]中，'''Bogoliubov变换'''，又称'''Bogoliubov-Valatin 变换'''，是1958年由[[尼古拉·尼古拉耶维奇·博戈柳博夫|尼古拉·博戈柳博夫]]和[[John George Valatin]]各自为了求[[BCS理论]]在均匀系统中的解而独立发展起来的。 <ref>{{Cite journal |last=Valatin |first=J. G. |date=March 1958 |title=Comments on the theory of superconductivity |journal=Il Nuovo Cimento |volume=7 |issue=6 |page=843–857 |bibcode=1958NCim....7..843V |doi=10.1007/bf02745589 |s2cid=123486856}}</ref> <ref>{{Cite journal |last=Bogoljubov |first=N. N. |date=March 1958 |title=On a new method in the theory of superconductivity |journal=Il Nuovo Cimento |volume=7 |issue=6 |page=794–805 |bibcode=1958NCim....7..794B |doi=10.1007/bf02745585 |s2cid=120718745}}</ref> Bogoliubov变换是对[[正则对易关系]]或[[典範對易與反對易關係代數|正则反对易关系代数]]的[[同构]]。 Bogoliubov变换通常用于对角化[[哈密顿算符|哈密顿量]]，从而产生相应[[薛定谔方程]]的稳态解。 Bogoliubov变换对于理解[[安魯效應|安鲁效应]]、[[霍金輻射|霍金辐射]]、核物理中的配对效应以及许多其他主题也很重要。

Bogoliubov变换通常用于对角化哈密顿量，''并''相应地对[[波函数]]进行变换。因此，在变换后的[[波函数]]上使用对角化哈密顿量计算的算子特征值与之前相同。

== 单玻色子模式案例 ==
考虑[[簡諧振子|简谐振子]]中[[玻色子]][[創生及湮滅算符|产生和湮灭算符]]的正则[[交換子|对换关系]]

: <math>\left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ] = 1.</math>

对于常复数<math>u</math>和<math>v</math> ，定义一对新的运算符

: <math>\hat{b} = u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger,</math>
: <math>\hat{b}^\dagger = u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a},</math>

其中后者是第一个的[[埃尔米特伴随|厄米共轭]]。

Bogoliubov变换是映射<math>\hat{a}</math>和<math>\hat{a}^\dagger</math>到<math>\hat{b}</math>和<math>\hat{b}^\dagger</math>的一种正则变换。为了使得变换是正则的，可以去算对易子从而找到常数<math>u</math>和<math>v</math>满足的条件，即，

: <math>\left [ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right ]
   = \left [ u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger, u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a} \right ]
   = \cdots = \left ( |u|^2 - |v|^2 \right ) \left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ]. </math>

那么很明显<math>|u|^2 - |v|^2 = 1</math>是转换能成立的条件。

由于此条件的形式与[[双曲函数|双曲恒等式]]所契合

: <math>\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1,</math>

常数<math>u</math>和<math>v</math>可以很容易地参数化为

: <math>u = e^{i \theta_1} \cosh r,</math>
: <math>v = e^{i \theta_2} \sinh r.</math>

这一变换可以被解释为[[相空間|相空间]]的[[辛向量空间|线性辛变换]]。通过与[[辛矩陣|Bloch-Messiah分解]]比较，两个相位角<math>\theta_1</math>和<math>\theta_2</math>对应于正交辛变换（即旋转），而[[挤压算子|压缩因子]]<math>r</math>对应于对角变换。

=== 应用 ===
Bogoliubov变换最重要的应用自然是[[尼古拉·尼古拉耶维奇·博戈柳博夫|尼古拉·博戈柳博夫]]本人讨论的[[超流体|超流]]背景下的问题。<ref>N. N. Bogoliubov: ''On the theory of superfluidity'', J. Phys. (USSR), 11, p. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, p. 77 (1947)).</ref> <ref>{{Cite web|last=Bogolubov [sic]|first=N.|title=On the theory of Superfluidity|url=http://ufn.ru/pdf/jphysussr/1947/11_1/3jphysussr19471101.pdf|access-date=27 April 2017|website=Advances of Physical Sciences|publisher=Lebedev Physical Institute|archive-date=2023-04-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20230401071115/https://ufn.ru/pdf/jphysussr/1947/11_1/3jphysussr19471101.pdf|dead-url=no}}</ref>其他应用包括[[哈密顿算符|哈密顿量]]和[[反铁磁性]]理论中的激发。<ref name="Kittel">See e.g. the textbook by [[Charles Kittel]]: ''Quantum theory of solids'', New York, Wiley 1987.</ref>此外，弯曲时空中的量子场论的真空定义发生变化，而这些不同真空之间也可以通过Bogoliubov 变换来尝试联系。这在[[霍金輻射|霍金辐射]]的推导中有用到。 Bogoliubov变换也广泛用于量子光学，特别是在处理高斯态的幺正变换（例如分束器、移相器和压缩操作）时。

== 费米子模式 ==
对于反对易关系

: <math>\left\{ \hat{a}, \hat{a}\right\} = 0, \left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\} = 1,</math>

Bogoliubov变换受限于<math>uv=0, |u|^2+|v|^2=1</math>。因此，唯一不平凡的可能性是<math>u=0, |v|=1</math>，其对应于可能包含相移的粒子-反粒子交换（或多体系统中的粒子-空穴交换）。因此，对于单个粒子，Bogoliubov变换只能在 (1)[[狄拉克费米子]]中实现，其粒子和反粒子是不同的（与[[马约拉纳费米子]]或[[幾何手性|手性费米子]]相反），或 (2) 对于多费米子系统，在其中有不止一种类型的费米子。

=== 应用 ===
这里面最重要的应用还是Nikolai Bogoliubov本人的针对[[BCS理论|BCS]][[超导现象|超导]]理论的推导。<ref name="Kittel">See e.g. the textbook by [[Charles Kittel]]: ''Quantum theory of solids'', New York, Wiley 1987.</ref> <ref name="NMTS1">{{Cite journal |last=Boboliubov |first=N. N. |date=1 Jan 1958 |title=A new method in the theory of superconductivity. I |journal=Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP |volume=7 |issue=1 |page=41–46}}</ref> <ref name="NMTS3">{{Cite journal |last=Bogoliubov |first=N. N. |date=July 1958 |title=A new method in the theory of superconductivity III |url=http://www.jetp.ac.ru/files/Bogolubov_007_01_0051.pdf |journal=Soviet Physics (U.S.S.R.) JETP |volume=34 |issue=7 |page=51–55 |access-date=2023-04-01 |archive-date=2020-07-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200727153421/http://jetp.ac.ru/files/Bogolubov_007_01_0051.pdf |dead-url=yes }}</ref> <ref name="BTS">{{Cite journal |last=Bogolyubov |first=N. N. |last2=Tolmachev |first2=V. V. |last3=Shirkov |first3=D. V. |date=November 1958 |title=A new method in the theory of superconductivity |journal=Fortschritte der Physik |volume=6 |issue=11–12 |page=605–682 |bibcode=1958ForPh...6..605B |doi=10.1002/prop.19580061102}}</ref>这里必须要做Bogoliubov变换的原因主要是在平均场近似下，系统的哈密顿量可以写为原始产生和湮灭算符的双线性项<math>\langle a_i^+a_j^+\rangle</math>之和，从而必须比通常的[[哈特里-福克方程|Hartree–Fock方法]]更进一步。特别地，在具有超导配对项的平均场[[Bogoliubov–de Gennes Hamiltonian|Bogoliubov–de Gennes 哈密顿]]<math>\Delta a_i^+a_j^+ + \text{h.c.}</math>里，Bogoliubov变换给出<math>b, b^\dagger</math>来湮灭或产生准粒子（每个准粒子都具有明确定义的能量、动量和自旋，但其实际上对应于电子和空穴态的量子叠加的形式），而变换的具体系数<math>u</math>和<math>v</math>由 Bogoliubov–de Gennes矩阵的特征向量给出。同样在[[原子核物理学|核物理]]中，因为它可以描述重元素中核子的“配对能量”，这种方法也是适用的。<ref>{{Cite journal |last=Strutinsky |first=V. M. |date=April 1967 |title=Shell effects in nuclear masses and deformation energies |journal=Nuclear Physics A |volume=95 |issue=2 |page=420–442 |bibcode=1967NuPhA..95..420S |doi=10.1016/0375-9474(67)90510-6}}</ref>

== 多模案例 ==
接下来所考虑的[[希尔伯特空间]]是描述更高维的[[量子諧振子|量子谐振子]]的空间（通常是无限维的）。

相应[[哈密顿算符|哈密顿量]]的[[基态]]被所有的湮灭算子湮灭：

: <math>\forall i \qquad a_i |0\rangle = 0.</math>

所有激发态都由一些[[創生及湮滅算符|产生算符]]作用在基态的态的[[线性组合]]获得：

: <math>\prod_{k=1}^n a_{i_k}^\dagger |0\rangle.</math>

可以做线性变换重新定义创建和湮灭算符：

: <math>a'_i = \sum_j (u_{ij} a_j + v_{ij} a^\dagger_j),</math>

其中系数<math>u_{ij},v_{ij}</math>必须满足一定的规则才能保证湮灭算符和生成算符<math>a^{\prime\dagger}_i</math> ，由[[埃尔米特伴随|Hermitian共轭]]给出，具有相同的玻色子的对于关系或费米子反对易关系。

上面的等式定义了算子的 Bogoliubov 变换。

被所有<math>a'_i</math>作用都等于零的基态不同于原来的基态<math>|0\rangle</math>。这里可以认为是算符或者量子态，二者其一进行了Bogoliubov变换。它们也可以定义为[[压缩态]]。 BCS 波函数是费米子压缩相干态的一个例子。<ref>{{Cite journal |last=Svozil |first=K. |author-link=Karl Svozil |date=1990-12-24 |title=Squeezed fermion states |journal=Physical Review Letters |publisher=American Physical Society (APS) |volume=65 |issue=26 |page=3341–3343 |bibcode=1990PhRvL..65.3341S |doi=10.1103/physrevlett.65.3341 |issn=0031-9007 |pmid=10042844}}</ref>

== 统一的矩阵描述 ==
因为Bogoliubov变换是算符的线性重组，所以将它们写成矩阵变换更方便简洁。如果一对湮灭算符<math>(a, b)</math>按照下面变化

: <math>
\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta
\end{pmatrix}
=
U
\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}
</math>

其中<math>U</math>是一个<math>2\times2</math>矩阵。那么自然

: <math>
\begin{pmatrix}
\alpha^\dagger\\
\beta^\dagger
\end{pmatrix}
=
U^*
\begin{pmatrix}
a^\dagger\\
b^\dagger
\end{pmatrix}
</math>

对于费米子算符，对易关系的要求体现在对矩阵<math>U</math>的两个条件，即

: <math>
U=
\begin{pmatrix}
u & v\\
-v^* & u^*
\end{pmatrix}
</math>

和

: <math>
|u|^2 + |v|^2 = 1
</math>

对于玻色子算子，[[對易關係|对易关系]]需要

: <math>
U=
\begin{pmatrix}
u & v\\
v^* & u^*
\end{pmatrix}
</math>

和

: <math>
|u|^2 - |v|^2 = 1
</math>

这些条件可以统一写成

: <math>
U \Gamma_\pm U^\dagger = \Gamma_\pm
</math>

其中

: <math>
\Gamma_\pm = 
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & \pm1
\end{pmatrix}
</math>

而<math>\Gamma_\pm</math>分别适用于费米子和玻色子。

=== 使用矩阵描述对角化二次哈密顿量 ===
Bogoliubov变换让我们通过对角化矩阵<math>\Gamma_\pm H</math> 来对角化二次哈密顿量

: <math>
\hat{H} =
\begin{pmatrix}
a^\dagger & b^\dagger
\end{pmatrix}
H
\begin{pmatrix}
a \\ b
\end{pmatrix}.
</math>

在上面的符号中，区分运算符<math>\hat{H}</math>和矩阵<math>H</math>很重要。这个通过重写<math>\hat{H}</math>看到

: <math>
\hat{H} =
\begin{pmatrix}
\alpha^\dagger & \beta^\dagger
\end{pmatrix}
\Gamma_\pm U (\Gamma_\pm H) U^{-1}
\begin{pmatrix}
\alpha \\ \beta
\end{pmatrix}
</math>

而<math>\Gamma_\pm U (\Gamma_\pm H) U^{-1}=D</math>当且仅当<math>U</math>对角化了<math>\Gamma_\pm H</math> ，即<math>U (\Gamma_\pm H) U^{-1} = \Gamma_\pm D</math> 。

下面列出了 Bogoliubov变换的一些有用的性质。
{| class="wikitable"
!
!玻色子
!费米子
|-
|变换矩阵
|<math>U=\begin{pmatrix}u & v\\v^* & u^*\end{pmatrix}</math>
| <math>U=\begin{pmatrix}u & v\\-v^* & u^*\end{pmatrix}</math>
|-
|逆变换矩阵
|<math>U^{-1} = \begin{pmatrix}u^* & -v\\-v^* & u\end{pmatrix}</math>
| <math>U^{-1}=\begin{pmatrix}u^* & -v\\v^* & u\end{pmatrix}</math>
|-
|伽马
|<math>\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}</math>
| <math>\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}</math>
|-
|对角化
|<math>U(\Gamma H) U^{-1} = \Gamma D </math>
| <math>U H U^{-1} = D </math>
|}

== 相关条目 ==

* 荷斯坦-普里马科夫变换
* [[喬丹–維格納變換|约旦-维格纳变换]]
* 乔丹-施温格变换
* 克莱因变换

== 参考 ==

[[Category:量子场论]]