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{{NoteTA|G1=物理學
|1 = zh-hans:动量; zh-hk:動量; zh-tw:動量;
|2 = zh-hans:恒力; zh-hant:定力;
|3 = zh-hans:机械能; zh-hant:力學能;
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}}
[[File:Billard.JPG|thumb|200px|除去因[[摩擦]]與[[傳熱]]因素所造成的微小損失，在[[撞球]]運動裏，可以很明顯的觀察到，所有圓球都遵循[[動量守恆定律]]。當圓球A擊中圓球B時，假若圓球A因此停住，則它的原本動量都會傳給圓球B；假若圓球A仍舊移動，則它的原本動量只有一部分會傳給圓球B，剩餘的動量存留在圓球A。]]
在[[古典力学]]裏，'''动量'''（momentum，{{math|'''p'''}}）被[[量化]]为物体的[[质量]]和[[速度]]的乘積（<math>\mathbf{p} = m \mathbf{v}.</math>）。例如，一輛快速移動的重型卡車擁有很大的動量。若要使這重型卡車從零速度加速到移動速度，則需要使到很大的作用力；若要使重型卡車從移動速度減速到零，則也需要使到很大的作用力；若卡車輕一點或移動速度慢一點，則它的動量也會小一點。

动量在[[国际单位制]]中的单位为kg·m/s。有關动量的更精确的量度的内容，请参见本页的[[#动量的现代定义|动量的现代定义]]部分。

一般而言，一个[[物体]]的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的[[趋势]]。动量实际上是[[牛顿第一定律]]的一个推论。动量是个[[向量]]，其方向与速度方向相同。动量同时也是一个[[守恒定律|守恒]]量，这表示为在一个[[封闭系统]]内动量的总和不可改变。在[[经典力学]]中，动量守恒暗含在牛顿定律中，但在[[狭义相对论]]中依然成立，（广义）动量在[[电动力学]]、[[量子力学]]、[[量子场论]]、[[广义相对论]]中也成立。

[[勒内·笛卡儿]]认为宇宙中总的“运动的量”是保持守恒的，这里所说的“运动的量”被理解为“物体大小和速度的乘积”——但这不宜被解读为现代动量定律的表达方式，因为笛卡尔并没有把“质量”这个概念与物体“重量”和“大小”之间的关系区分开来，更重要的是他认为速率（标量）而不是速度（向量）是守恒的。因此对于笛卡兒来说：一个移动的物体从另一个表面弹回来的时候，该物体的方向发生了改变但速率没有发生改变，运动的量应该没有发生改变<ref>{{Cite book
|author=Daniel Garber
|editor=John Cottingham
|chapter=Descartes' Physics
|pages=310–319
|title=The Cambridge Companion to Descartes
|date=1992
|place=Cambridge
|publisher=Cambridge University Press
|isbn=0-521-36696-8
|url=}}</ref><ref>{{cite book|last=Rothman|first=Milton A.|title=Discovering the natural laws : the experimental basis of physics|url=https://archive.org/details/discoveringnatur0000roth|date=1989|publisher=Dover Publications|location=New York|isbn=9780486261782|pages=[https://archive.org/details/discoveringnatur0000roth/page/83 83]–88|edition=2nd}}</ref>。

== 古典力学中的动量 ==

物体在任何一个[[参考系]]中运动时，它都具有在''该参考系''中的动量。需要注意的是，动量是一个参考系决定量。也就是说，同一个物体在一个参考系中具有确定的动量，但在另一个参考系中却有可能具有不同的动量。

物体动量的数值取决于两个物理量的数值：运动物体在[[参考系]]中的[[质量]]与[[速度]]。在物理学中，动量以小写的<math>\mathbf{p}</math>（黑体代表'''<math>\mathbf{p}</math>'''是一个[[向量]]）表示，动量的定义如下：

:<math>\mathbf{p} = m\mathbf{v} </math>

动量对时间的一阶[[导数]]的定义如下：

:<math>{\frac {\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d}t}} = \frac {\mathrm{d} (m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t} = m \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t}+v \frac {\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}</math>

其中'''p'''為動量，t為時間，d為[[微分]]算符。

当物体在运动中质量不变的情形下，<math>\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=0</math>，此时，可以将动量对时间的一阶导数简写作

:<math>{\frac {\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d}t}} = m \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t} </math>

一个物体的速度包括了该物体的速率与运动方向。因为动量由速度决定，所以动量也具有[[数量]]与方向，是一个[[空间]][[向量]]。例如，要表示出<nowiki>5 kg</nowiki>的保龄球的动量的话，可以以它有以2m/s的速率向西运动的状态来说明；但是，只认为该保龄球具有10 kg·m/s的动量的想法是不全面的，因为没有表示出它的运动方向。

=== 定理 ===
'''动量定理'''指出：
{{Quotation|物体所受[[合力]]的[[冲量]]等于物体的'''动量'''变化。}}

<math>\sum \mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}</math>

=== 推导 ===
设一个质量为m的物体，初[[速度]]为v，那么初动量为p=mv,在合力F的作用下，经过一段时间t速度变为<math>v^'</math>，末动量则变为<math>p^'=mv^'</math>。物体的[[加速度]]为<math>a= \frac{v^'-v}{t} </math>。由[[牛顿第二定律]]<math>F=ma= \frac{mv^'-mv}{t} </math>可得<math> Ft=mv^'-mv </math>，即<math> Ft=p^'-p </math>。<br>在动量定理的推导过程中，我们假定合力F是恒定的，但是在实际生活当中要比这个复杂的多。如用球拍击打球或是用脚踢踢球时作用力就不是恒定的。但可以证明<ref>人民教育出版社物理室《全日制普通高级中学教科书物理》第二册<nowiki/>ISBN 978-7-107-16500-9 </ref>，动量定理不但适用于恒力，也可以随时间而变化的变力，对于变力的情况，动量定理中的F应理解为在作用时间内的平均值。此时作用力<math>\mathbf{F}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} </math>
也称作动量的变化率。

== 碰撞中的动量守恒 ==

动量具有一个特殊属性：只要是在一个[[封闭系统]]中，它总会保持恒定，即使是物体[[碰撞]]发生时。而对[[动能]]而言，[[非弹性碰撞]]的物体的动能将不会守恒。因此，当碰撞过后可利用动量守恒来计算未知速度。

在物理学上，这个特殊属性被用来来解决两个相碰物体的问题。因为动量始终保持恒定，碰撞前动量的总和一定与碰撞后动量的总和相等：

::<math>m_1 \mathbf{v}_{1\text{i}} + m_2 \mathbf{v}_{2\text{i}} = m_1 \mathbf{v}_{1\text{f}} + m_2 \mathbf{v}_{2\text{f}}</math>
:其中，i表示碰撞前的初量，f表示碰撞后的末量。要注意的是此時<math>\mathbf{v}</math>為[[向量]]。

通常来说，我们只需知道碰撞前（或碰撞后）物体的速度便可计算出碰撞后（或碰撞前）物体的速度。碰撞有两种类型，两种类型中动量都守恆：
*[[弹性碰撞]]中，[[动能]]保持恒定；
*[[非弹性碰撞]]中，动能不保持恆定

== 弹性碰撞 ==
{{main|彈性碰撞}}

弹性碰撞的一个较好的例子是两个台球之间的碰撞。当两个球相碰时，除了动量保持恒定外，碰撞前后动能的总和也将保持不变：

::<math>\frac{1}{2} m_1 v_{1\text{i}}^2
 + \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{i}}^2
 = \frac{1}{2} m_1 v_{1\text{f}}^2
 + \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{f}}^2</math>

因为每个因式中都含有系数<math>\frac{1}{2}</math>，所以亦可将该系数移除。

=== 正向碰撞（一维） ===
正碰即[[对心碰撞]]（head on collision），两物体沿着一条直线碰撞后仍沿原来直线运动，属于弹性碰撞中的一种。

*遵循[[动量守恒]]

::<math>m_1 v_{1\text{i}} + m_2 v_{2\text{i}} = m_1 v_{1\text{f}} + m_2 v_{2\text{f}}</math>
*遵循[[能量守恒]]

::<math> \frac{1}{2}m_1v_{1\text{i}}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2\text{i}}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1\text{f}}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2\text{f}}^2</math>

联立两方程式可得出，两物体最终速度
<br />

::<math> v_{1\text{f}} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}  v_{1\text{i}} + \frac{2 m_2}{m_1 + m_2}v_{2\text{i}}</math>

::<math> v_{2\text{f}} = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_{1\text{i}} +  \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}  v_{2\text{i}}</math>

=== 斜向碰撞（二维） ===
可以分別以<math>x</math>方向以及<math>y</math>方向的動量守恆決定出碰撞前後的速度關係。

== 動量守恆定律 ==
{{main|動量守恆定律}}

動量是[[守恆量]]。[[動量守恆定律]]表示為：一個系統不受外力或者所受外力之和為零，這個系統中所有物體的總動量保持不變。它的一個推論為：在沒有外力干預的情況下，任何系統的[[質心]]都將保持[[勻速直線運動]]或靜止狀態不變。動量守恆定律可由机械能对空間平移对称性推出。

在隔離系統（不存在外力）中總動量將是一個守恆量，這暗含在牛頓[[慣性|運動第一定律]]之中。

因為動量是向量，所以[[子彈]]從起先靜止的[[槍]]中射出後，儘管子彈和槍都在運動，但由於子彈的動量與槍的動量等值反向，它們相互抵消，使得子彈與槍形成的系統中動量的總和依然為零。

若有系統外合（淨）力為零，則系統內各質點相互作用力亦為零（可視為牛頓第三定律，作用力反作用力原理），故動量變化為零，所以動量守恆。动量守恒定律具有普适性，适用于[[宏观]]、[[微观]]系统，参考系。

== 动量的现代定义 ==

=== 相对论力学中的动量 ===

在[[相对论|相对论力学]]中，动量被定义为：

:<math> \mathbf{p} = \gamma m\mathbf{u} </math>
其中：
*<math>m</math>表示运动物体的静止质量；
*<math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}</math>；
* ''u''表示物体与观察者之间的相对速度；
* ''c''表示[[光速]]。

当物体在低速极限（u/c -> 0）下运动时，相对论力学的动量式可变化为牛顿力学的动量式：<math> m\mathbf{u} </math>。

[[阿尔伯特·爱因斯坦]]由[[洛伦兹变换]]下的[[四维矢量]]守恒发展提出了相对论的[[四维动量]]。其中[[四维矢量]]可从[[量子场论]]使用[[格林函数]]自然导出。四维动量被定义为：

:<math>\left( {E \over c} , p_x , p_y ,p_z \right)</math>

其中，<math>p_x</math>表示''相对论''动量的<math>x</math>分量，<math>E</math>表示系统的总能量：

:<math> E = \gamma mc^2 \;</math>

令速度等于零，可得到一个物体的静止质量和能量之间的关系[[E=mc²]]。

矢量的“长度”保持恒定被定义为：

:<math> \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} - E^2/c^2 </math>

==== 无静止质量物体的动量 ====

无[[静止质量]]物体，譬如[[光子]]亦有动量。计算的公式为：
:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} </math>
:::其中
::::<math>h</math>表示[[普朗克常量]]；
::::<math>\lambda</math>表示光子的波长；
::::<math>E</math>表示光子的[[能量]]；
::::<math>c</math>表示[[光速]]。

==== 动量的普适性 ====

动量是平移守恒的[[诺特荷]]。因此，甚至连[[场]]也与其他物质一样具有动量，而不止是[[粒子]]。但是，在[[弯曲时空]]（非[[闵可夫斯基空间|闵可夫斯基]]式）中，动量根本没有被定义。

=== 量子力学中的动量 ===
{{seealso|动量算符}}

在[[量子力学]]中，动量被定义为[[波函数]]的一个[[算符]]。[[沃纳·海森堡|海森堡]][[不确定性原理]]定义了单一观测系统中一次测定动量和位置的精确极限。在量子力学中，动量与位置是一对[[共轭物理量]]。

对单个不带[[电荷]]且没有[[自旋]]的粒子来说，动量算符可被写作：

:<math>\mathbf{\hat p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla</math>

其中，<math>\nabla</math>表示[[梯度]]算符。这是动量算符的一个普通形式，而非最普遍的一个。

=== 电磁学中的动量守恒 ===

当电场和/或磁场移动时，它们带有动量。电磁波（可见光、紫外线、无线电波等）也有动量，即使是没有靜止质量的[[光子]]，也同样带有动量。这被应用在诸如[[太阳帆]]上。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 参看条目 ==
* [[角動量]]
* [[守恒定律]]
* [[牛頓擺]]

{{经典力学国际单位}}
{{經典力學}}
{{DEFAULTSORT:D}}
[[Category:守恒定律]]
[[Category:力學]]
[[Category:动量| ]]
[[Category:動作]]
[[Category:矢量物理量]]
[[Category:矩 (物理學)]]