查看“︁加法逆元”︁的源代码

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{{NoteTA|G1=Math}}

'''加法逆元'''（additive inverse）又稱'''相反數'''（{{lang|en|opposite}}）、'''反数'''，其定義是對於任意數<math>a</math>，存在相反数滿足其與<math>a</math>的[[加法|和]]為[[零]]（加法[[單位元]]）；<math>a</math> 的加法逆元表示為 <math>-a</math>。

在[[實數]]中，數<math>a</math>的相反數<math>-a</math>，稱為其加法逆元；相對地，數<math>a</math>的[[倒數]]<math>\frac{1}{a}</math>或<math>a^{-1}</math>，則稱為其[[乘法逆元]]。

== 一般定義 ==
設「+」為一個[[交換律|交換性]]的[[二元運算]]，即對於所有<math>x</math>, <math>y</math>, <math>x+y=y+x</math>。若該集合中存在一個元素<math>0</math>，使得對於所有<math>x</math>, <math>x+0=0+x=x</math>，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的<math>x</math>，存在一個<math>x'</math>使得<math>x+x'=x'+x=0</math>，則稱<math>x'</math>是<math>x</math>的加法逆元。

== 特殊情況 ==
=== 定義 ===
若「+」滿足[[結合律]]，則任意數的加法逆元是[[唯一量化|唯一]]的。

=== 證明 ===
[[反證法]]：
設<math>x</math>有兩個相異的加法逆元<math>x_1</math>、<math>x_2</math><br>
有<math> x = x + 0</math> 的關係。<br>
⇒ <math>0 = x + x_1  = x + x_2  </math><br>
⇒ <math>x_1 = x_2</math><br>
產生[[矛盾]]，[[證訖]]。

== 例 ==
* [[向量空間]]：[[純量乘法]]<math>-1</math>
* [[歐幾里得空間]]：以原點為中心的[[反演變換]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{-}}
{{二元運算的性質}}

[[Category:初等代数|J]]