查看“︁加法單位元”︁的源代码

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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[數學]]裡，一個具有[[加法]][[運算]]的[[集合 (数学)|集合]]中的'''加法單位元'''，是指不論它加上任何一個在此集合內的[[元素 (數學)|元素]]''x''都會等於''x''的元素。

==基本例子==

* [[初等數學]]中所熟悉的加法單位元為[[0]]。
如：

: 5 + 0 = 5 = 0 + 5。

* 在[[自然數]]<math>\mathbb{N}</math>和其所有的[[父集]]([[整數]]<math>\mathbb{Z}</math>、[[有理數]]<math>\mathbb{Q}</math>、[[實數]]<math>\mathbb{R}</math>、[[复数 (数学)|複數]]<math>\mathbb{C}</math>)內，其加法單位元皆為0。所以對於任何一個[[數]]<math>n</math>，

: <math>n + 0 = n = 0 + n</math>。

==形式定義==

令<math>N</math>是一個在[[加法]][[運算]]下封閉的[[集合 (数学)|集合]]。''<math>N</math>''的加法單位元即為任一個能使所有在''<math>N</math>''內的元素<math>n</math>有下列公式的元素<math>e</math>：

: <math>e + n = n = n + e</math>。

==更多例子==

* 在一個[[群]]裡，加法單位元即是這個群的[[單位元]]，通常標記做0，並且是唯一的(見下面證明)。

* 一個[[环 (代数)|環]]或一個[[域 (數學)|體]]也會是一個在[[加法]][[運算]]下的[[群]]，因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和[[乘法單位元]][[1]]不同，若環（或體）有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話，這個環則會是[[當然]]的(見下面證明)。

* 在一個於群<math>G</math>上的<math>m</math>乘<math>n</math>階[[矩陣]]所組成的群<math>M_{m\times n}(G)</math>裡，其加法單位元標記為'''0'''，且會是個其元素都是在''<math>G</math>''內的[[單位元]]0的<math>m</math>乘<math>n</math>[[矩陣]]。例如，在一個於[[整數]]上的2階方陣<math>M_2(\mathbb{Z})</math>裡，其加法單位元為

:<math>0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}</math>.

==證明==
===加法單位元在一個群裡是唯一的===

令<math>(G,+)</math>是一個[[群]]，且設0和0'是在''<math>G</math>''內的兩個加法單位元，則對於所有在''<math>G</math>''內的<math>g</math>而言，

: <math>0 + g = g = g + 0</math> 且<math>0' + g = g = g + 0'</math>。

由上可得

: (0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可證明 0 = 0'。

===加法和乘法單位元在一個非平凡環裡是不同的===

令<math>R</math>是一個[[环 (代数)|環]]，且假設加法單位元0和[[乘法單位元]]1會相等，即0=1。設<math>r</math>為於''<math>R</math>''內的任一[[元素]]，則

: <math>r = r \times 1 = r \times 0 = 0</math>

其表示''<math>R</math>''必須是[[平凡 (數學)|平凡]]的，亦即<math>R=\{0\}</math>。再依照[[換質位法]]，即可得出若''<math>R</math>''不是平凡的，則0不會等於1的結論。

==另見==

* [[加法逆元]]
* [[單位元]]
* [[乘法單位元]]

==外部連結==

* {{PlanetMath | urlname=UniquenessOfAdditiveIdentityInARing2 | title=加法單位元在一個環裡的唯一性 | id=5676}}
* {{MathWorld | urlname=AdditiveIdentity | title=加法單位元 | author=Margherita Barile}}

==參考文獻==

*David S. Dummit, Richard M. Foote, ''Abstract Algebra'', Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.

{{二元運算的性質}}

[[Category:初等代数|J]]
[[Category:群論|J]]
[[Category:環論|J]]
[[Category:零]]