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[[数学]]上，'''加托导数'''(英文: Gâteaux derivative)是[[微分学]]中的[[方向导数|-{方向}-导数]]的概念的推广。它以[[勒內·加托]]命名，他是一位法国数学家，年青时便死于[[第一次世界大战]]。它定义于[[局部凸]]的[[拓扑向量空间]]上，可以和[[巴拿赫空间]]上的[[弗雷歇导数]]作对比。二者都经常用于形式化[[泛函导数]]的概念，常见于[[變分法]]和[[物理学]]，特别是[[量子场论]]。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。

== 定义 ==
假设 <math>X</math> 和 <math>Y</math> 是[[局部凸]][[拓扑向量空间]]，（例如[[巴拿赫空间]]），<math>U\subset X</math> 是開集合(open set)，且 <math> F:X\rightarrow Y</math>。 
<math>F</math> 在點 <math>u\in U</math> 沿着 <math>\psi\in X</math> 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) <math>dF(u,\psi)</math> 定义为

:<math>
dF(u,\psi)=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{F(u+\tau \psi)-F(u)}{\tau}=\left.\frac{d}{d\tau}F(u+\tau \psi)\right|_{\tau=0} 
</math>

如果极限存在。固定 <math>u</math> 若 <math>dF(u,\psi)</math> 对于所有 <math>\psi \in X</math> 都存在，则称 <math>F</math> 在 <math>u\in U</math> 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 <math>F</math> 在 <math>u</math> 是加托可微，稱 <math>dF(u, \cdot)</math> 為在 <math>u</math> 的加托導數。

称 <math>F</math> 是在 <math>U</math> 中'''连续可微的'''若

:<math>dF:U\times X \rightarrow Y</math> 

是[[连续]]的。

== 属性 ==
若加托导数存在，则其为唯一。

对于每个<math>u\in U</math>，加托导数是一个算子<math>dF:X\rightarrow Y.</math>。
该算子是齐次的，使得

<math>dF(u,\alpha\psi)=\alpha dF(u,\psi)\,</math>，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像[[Fréchet导数]]。

== 例子 ==
令 <math>X</math> 为一个在[[欧几里得空间]] <math>\mathbb{R}^n</math> [[勒贝格可测集]]  <math>\Omega</math> 上的[[平方可积函数]]的[[希尔伯特空间]]，也就是說 <math>X=\{u:\Omega\mapsto \mathbb{R}\mid  \int_\Omega u^2<\infty,\,\, \Omega\subseteq \mathbb{R}^n </math> 是勒貝格可測集  <math>\}</math>。泛函 <math>E:X\rightarrow \mathbb{R}</math> 由

:<math> E(u)=\int_\Omega F\left( u(x) \right)dx </math> 

给出，其中 <math>F</math> 是一个定義在實數上的可微[[实数|实]]值函数且 <math>F'=f\,</math> 而 <math>u</math> 為定義在 <math>\Omega</math> 的實數值函數，则加托导数为
:<math>
dE(u,\psi)=(f(u),\psi),\quad\quad(f(u),\psi)</math> 這符號代表 <math>\int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx\,</math>.

更詳細的說：

:<math>
\frac{E(u+\tau\psi) - E(u)}{\tau} = \frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega F(u+\tau\psi)dx - \int_\Omega F(u)dx \right)
</math>
:<math>
\quad\quad =\frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega\int_0^1 \frac{d}{ds} F(u+s\tau\psi) \,ds\,dx \right)
</math>
:<math>
\quad \quad =\int_\Omega\int_0^1 f(u+s\tau\psi)\psi \,ds\,dx.
</math>

令<math>\tau\rightarrow 0</math> (并假设所有积分有定义)，得到加托导数
:<math>dE(u,\psi)=\int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx,</math>
也就是，内积<math>(f(u),\psi).\,</math>

== 参看 ==
* [[导数 (推广)]]

== 参考 ==
* {{cite web | author = R Gâteaux | title = Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques | url = http://gallica.bnf.fr/ | work = Comptes rendus de l'académie des sciences, Paris, Vol. 157 (1913) | pages = 325-327 | accessdate = 2006-07-30 | language = fr | archive-date = 2016-12-18 | archive-url = https://web.archive.org/web/20161218172021/http://gallica.bnf.fr/ | dead-url = no }}
{{泛函分析}}
[[Category:泛函分析|J]]
[[Category:拓撲向量空間|J]]
[[Category:导数的推广]]