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[[數學]]上，一個帶有[[度量]]''d''的[[度量空間]]''X''稱為'''加倍空間'''，若存在常數''M'' > 0，使得對''X''中任何點''x''和任何''r'' > 0，中心為''x''，半徑為''r''的球''B''(''x'',&nbsp;''r'')&nbsp;=&nbsp;{''y'':|''d(x, y)'' <&nbsp;''r''}，可以用不多於''M''個半徑為''r'' / 2 的球覆蓋。<ref>{{cite book| last = Heinonen| first = Juha | title = Lectures on Analysis on Metric Spaces | series = Universitext | publisher = Springer-Verlag | location = New York | year = 2001 | pages = x+140 | ISBN = 0-387-95104-0}}</ref>[[歐氏空間]]'''ℝ'''<sup>''d''</sup>賦以通常的歐氏度量是加倍空間，其加倍常數''M''取決於維數''d''。


==Assouad嵌入定理==

[[度量幾何]]中一個重要問題，是描述哪些度量空間可以用[[利普希茨連續|雙利普希茨]]映射嵌入到歐氏空間中。如此的度量空間本質上可視為歐氏空間的子集。並非所有度量空間都能嵌入到歐氏空間。加倍空間較可能嵌入得到，因為這些空間的加倍條件大概表示空間不是無限維。但是加倍空間並不都能嵌入到
歐氏空間中。帶有[[Carnot度量]]的[[海森伯群]]是加倍空間，但不能嵌入到任何歐氏空間中。.<ref>{{cite journal| last = Pansu| first= Pierre | title = Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un| url = https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1989-01_129_1/page/1| journal = Ann. of Math. (2)| volume = 129 | year = 1989 | number = 1 | pages = 1–60}}</ref>

'''Assouad定理'''說，對一個''M''-加倍度量空間''X''，及任何0&nbsp;<&nbsp;''ε''&nbsp;<&nbsp;1，若賦予''X''度量''d''(''x'',&nbsp;''y'')<sup>''ε''</sup> ，則有一個''L''-雙利普希茨映射''f'':''X''&nbsp;→&nbsp;'''ℝ'''<sup>''d''</sup>，其中''d''和''L''依賴於 ''M''和''ε''。
==加倍測度==

===定義===
[[度量空間]]''X''上的一個[[測度]]稱為'''加倍測度'''，如果任一個球的測度，和兩倍大的球的測度差不多。確切來說，如果存在常數''C''&nbsp;>&nbsp;0，使得對''X''中任何''x''和任何''r''&nbsp;>&nbsp;0，有

:<math> \mu(B(x,2r))\leq C\mu(B(x,r)) \, </math>

此時稱''μ''是'''C-加倍'''的。

一個存在加倍測度的度量空間，必定是一個加倍空間，其加倍常數依賴於常數''C''。

相反地，任何[[完備空間|完備]]加倍度量空間都有加倍測度。<ref>{{cite journal| last1 = Luukainen | last2 = Saksman | first1 = Jouni | first2 = Eero | title = Every complete doubling metric space carries a doubling measure | journal = Proc. Amer. Math. Soc. | volume = 126 | year = 1998 | number = 2 | pages = 531–534}}</ref>

===例子===

一個簡單例子是歐氏空間上的[[勒貝格測度]]。不過歐氏空間上也有相對於勒貝格測度是[[奇異測度|奇異]]的加倍測度。在實數線上的一個例子，是以下測度列的[[弱極限]]：<ref>{{cite book| last=Zygmund | first = A. | title=Trigonometric Series. Vol. I,II | series = Cambridge Mathematical Library | edition = 3rd ed. | publisher = Cambridge University Press | year = 2002 | pages = xii; Vol. I: xiv+383 pp.; Vol. II: viii+364| ISBN = 0-521-89053-5}}</ref>

:<math> d\mu_n = \prod_{i=1}^n (1+a\cos (3^i 2\pi x))\,dx,\;\;\; |a|<1.</math>

另外，區間[0,&nbsp;1]上可以構造一個加倍奇異測度如下：對每個''k''&nbsp;≥&nbsp;0，劃分單位區間[0,1]為3<sup>''k''</sup>個長度3<sup>&minus;''k''</sup>的區間。設Δ為對每個''k''得到的所有這些區間的集合。對其中每個區間''I''，將''I''中間三分之一的區間記為''m''(''I'')。選定0&nbsp;<&nbsp;''δ''&nbsp;<&nbsp;1，設''μ''為測度，使得''μ''([0,&nbsp;1])&nbsp;=&nbsp;1，並對Δ中的每個區間''I''，有''μ''(''m''(''I''))&nbsp;=&nbsp;''δμ''(''I'')。這個在[0,&nbsp;1]上的測度''μ''，相對於勒貝格測度是奇異的。<ref>{{cite journal| last = Kahane | first = J.-P. | title = Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires| journal = Enseignement Math. (2) | volume = 15 | year = 1969 | pages = 185–192}}</ref>

==應用==

加倍測度的定義看似隨意，或似乎純粹與幾何有關。不過古典[[調和分析]]中的很多結果，都可以推廣到有加倍測度的度量空間中。

==參考==
{{reflist}}

[[分類:度量幾何]]