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{{noteTA|G1=物理學}}
[[File:Torque_animation.gif|thumb|250px|在一个旋转系统裏，作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>、位置向量<math>\mathbf{r}\,\!</math>、力矩<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>、动量<math>\mathbf{p}\,\!</math>、角动量<math>\mathbf{L}\,\!</math>，這些物理量之間的关系。]]

'''力矩'''（{{lang|en|moment of force}}<ref>https://terms.naer.edu.tw/detail/09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576/?seq=2</ref>，moment<ref>{{Cite web |url=https://terms.naer.edu.tw/detail/9da8d96483d7202e45edeab49b0bb106/?seq=1 |title=存档副本 |access-date=2023-05-19 |archive-date=2023-05-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230519061912/https://terms.naer.edu.tw/detail/9da8d96483d7202e45edeab49b0bb106/?seq=1 |dead-url=no }}</ref>）在[[物理学]]中，是[[作用力]]促使物體繞著[[欧拉角#旋轉矩陣1|轉動軸]]或[[槓桿|支點]]轉動的趨向<ref>Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). ''Physics for Scientists and Engineers''. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.</ref>；也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。簡略地说，力矩是一種施加於例如[[螺栓]]、[[飛輪]]一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用[[扳手]]的開口箝緊[[螺栓]]或[[螺帽]]，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

使机械元件转动的力矩又称'''转矩'''（turning moment<ref>{{Cite web |url=https://terms.naer.edu.tw/detail/86643e5d97c674673cabf928049188d3/?seq=1 |title=存档副本 |access-date=2023-05-19 |archive-date=2023-05-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230519093501/https://terms.naer.edu.tw/detail/86643e5d97c674673cabf928049188d3/?seq=1 |dead-url=no }}</ref>，moment of rotation<ref>{{Cite web |url=https://www.termonline.cn/word/81944/1#s1 |title=存档副本 |access-date=2023-05-19 |archive-date=2023-05-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230519060401/https://www.termonline.cn/word/81944/1#s1 |dead-url=no }}</ref>）即'''转动力矩'''；在[[材料力学]]、[[土木工程]]和[[建筑学]]中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的[[力偶矩]]，称为'''扭矩'''<ref>{{Cite web |url=https://www.termonline.cn/word/109560/1#s1 |title=存档副本 |access-date=2023-05-19 |archive-date=2023-05-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230519060355/https://www.termonline.cn/word/109560/1#s1 |dead-url=no }}</ref>（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为'''弯矩'''<ref>{{Cite web |url=https://www.termonline.cn/word/109555/1#s1 |title=存档副本 |access-date=2023-05-19 |archive-date=2023-05-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230519060406/https://www.termonline.cn/word/109555/1#s1 |dead-url=no }}</ref>（bending moment）。

力矩能够使物体改变其[[旋转运动]]。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭转則涉及到力矩。如上图，力矩<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>等於径向向量<math>\mathbf{r}\,\!</math>与作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>的[[叉積]]。

根據[[国际单位制]]，力矩的单位是[[牛顿]]<math>\cdot</math>[[米 (单位)|米]]。本物理量非能量，因此不能以[[焦耳]]（J）作單位；根據[[英制单位]]，力矩的单位则是英尺<math>\cdot</math>磅。力矩的表示符号是[[希腊字母]]<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>，或<math>\mathbf{M}\,\!</math>。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>、從轉軸到施力點的位移向量<math>\mathbf{r}\,\!</math>、兩個向量之間的夾角<math>\theta\,\!</math>。力矩<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>以向量方程式表示為
:<math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math>。

力矩的大小為
:<math>\tau = rF\sin \theta\,\!</math>。

==定义==
[[File:Right_Hand_Rule_Torque.jpg|left|thumb|200px|用右手定則决定力矩方向]]
'''力矩'''等於作用於杠杆的[[作用力]]乘以[[杠杆|支点]]到力的垂直[[距离]]。例如，3 [[牛顿]]的作用力，施加於离支点2 [[米 (单位)|米]]处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个[[向量]]。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用[[右手定則]]来决定，也可以用[[叉乘]]计算。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向<ref>*[[喬治亞州州立大學]]（{{lang|en|Georgia State University}}）線上物理網頁：{{citation|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=力矩的右手定則|accessdate=2007-09-08|archive-date=2007-08-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20070819141440/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/tord.html|dead-url=no}}</ref>。

[[Image:Torque,_position,_and_force.svg|thumb|200px|假設作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>施加於位置為<math>\mathbf{r}\,\!</math>的粒子。選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量<math>F_{\perp}\,\!</math>會產生力矩。這力矩<math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math>的大小為<math>\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}_{\perp}|= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!</math>，方向為垂直於屏幕向外。]]
更一般地，如圖右，假設作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>施加於位置為<math>\mathbf{r}\,\!</math>的粒子。選擇原點為參考點，力矩<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>以方程式定義為
:<math>\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!</math>。

力矩大小為
:<math>\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!</math>；

其中，<math>\theta\,\!</math>是兩個向量<math>\mathbf{F}\,\!</math>與<math>\mathbf{r}\,\!</math>之間的夾角。

力矩大小也可以表示為
:<math>\tau = rF_{\perp}\,\!</math>；

其中，<math>F_{\perp}\,\!</math>是作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>對於<math>\mathbf{r}\,\!</math>的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量<math>\mathbf{r}\,\!</math>和作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

==與角動量之間的關係==
[[File:PrecessionOfATop.svg|thumb|200px|[[地心引力]]<math>\mathbf{F_g}\,\!</math>的力矩造成角动量<math>\mathbf{L}\,\!</math>的改变。因此，[[陀螺]]呈现[[进动]]現象。]]
假設一個粒子的位置為<math>\mathbf{r}\,\!</math>，動量為<math>\mathbf{p}\,\!</math>。選擇原點為參考點，此粒子的角動量<math>\mathbf{L}\,\!</math>為
:<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,\!</math>。

粒子的角動量對於時間的導數為
:<math>\begin{align}\frac{d\mathbf{L}}{dt} & = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} \\
& = \mathbf{v} \times m\mathbf{v} + \mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \\
 & =\mathbf{r} \times m \mathbf{a} \\
\end{align}\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>m\,\!</math>是質量，<math>\mathbf{v}\,\!</math>是速度，<math>\mathbf{a}\,\!</math>是加速度。

應用[[牛頓第二定律]]，<math>\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!</math>，可以得到
:<math>\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!</math>。

按照力矩的定義，<math>\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!</math>，所以，
:<math>\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!</math>。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的[[角動量]]<math>\mathbf{L}\,\!</math>對於[[時間]]<math>t\,\!</math>的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩<math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}\,\!</math>共同決定角動量的對於時間的變化：
:<math>\boldsymbol{\tau}_1 + \cdots + \boldsymbol{\tau}_n = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!</math>。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，
:<math>\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega}\,\!</math>；

其中，<math>I\,\!</math>是物體對於固定軸的[[轉動慣量]]，<math>\boldsymbol{\omega}\,\!</math>是物體的[[角速度]]。

所以，取上述方程式對時間的導數：
:<math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} = I\boldsymbol{\alpha}\,\!</math>；

其中，<math>\boldsymbol{\alpha}\,\!</math>是物體的[[角加速度]]。

==单位==
力矩的定义是[[距离]]乘以[[作用力]]。根據国际单位制，力矩的单位是[[牛顿]]<math>\cdot</math>[[米 (单位)|米]]<ref name="BIPM 5.1">{{citation | title = SI brochure Ed. 8, Section 5.1 | publisher = Bureau International des Poids et Mesures | date = 2006 | url = http://www1.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter5/5-1.html | accessdate = 2007-04-01 | deadurl = yes | archiveurl = https://web.archive.org/web/20070519084104/http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter5/5-1.html | archivedate = 2007-05-19 }}</ref>（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是[[国际重量测量局]]（{{lang|en|Bureau International des Poids et Mesures}}）规定这次序应是牛顿<math>\cdot</math>米，而不是米<math>\cdot</math>牛顿<ref name="BIPM 2.2.2">{{citation | title = SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2 | publisher = Bureau International des Poids et Mesures | date = 2006 | url = http://www1.bipm.org/en/si/derived_units/2-2-2.html | accessdate = 2007-04-01 | deadurl = yes | archiveurl = https://web.archive.org/web/20050316054529/http://www1.bipm.org/en/si/derived_units/2-2-2.html | archivedate = 2005-03-16 }}</ref>。

根據[[国际单位制]]，[[能量]]与[[功|功量]]的单位是[[焦耳]]，定义为1牛顿<math>\cdot</math>米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力[[点积]]距离的标量；而力矩是距离[[叉积]]作用力的向量。当然，[[量纲]]相同并不尽是巧合，使1牛顿<math>\cdot</math>米的力矩，作用1 [[全转]]，需要恰巧<math>2\pi\,\!</math>焦耳的能量：
:<math>E= \tau\theta\,\!</math>。

其中，<math>E\,\!</math>是能量，<math>\theta\,\!</math>是移动的角度，单位是[[弧度]]。

根據[[英制]]，力矩的单位是英尺<math>\cdot</math>磅。

==矩臂方程式==
[[File:moment arm.png|thumb|200px|矩臂图]]
在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：
:<math>\boldsymbol{\tau} = (\text{moment arm}) \cdot \textrm{force}\,\!</math>。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置<math>\mathbf{r}\,\!</math>、作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>（force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

==静力概念==
当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是
:<math>\sum F_x =0\,\!</math>，
:<math>\sum F_y =0\,\!</math>，
:<math>\sum \tau =0\,\!</math>。
这里，<math>F_x,\ F_y \,\!</math>是作用力<math>\mathbf{F}\,\!</math>分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个[[联立方程式]]有解，则称此系统为[[静不定#静定系统|静定]]系统；不然，则称为[[静不定]]系统。

==力矩、能量和功率之間的關係==
假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了[[機械功]]。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了[[機械功]]。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，
:<math> W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta\,\!</math>；

其中，<math>W\,\!</math>是機械功，<math>\theta_1\,\!</math>、<math>\theta_2\,\!</math>分別是初始角和終結角，<math>\mathrm{d}\theta\,\!</math>是無窮小角位移元素。

根據[[機械功|功能定理]]，<math>W\,\!</math>也代表物體的[[旋轉動能]]<math>K_{\mathrm{rot}}\,\!</math>的改變，以方程式表達，
:<math>K_{\mathrm{rot}} = \tfrac{1}{2}I\omega^2\,\!</math>。

[[功率]]是單位時間內所做的[[機械功]]。對於旋轉運動，功率<math>P\,\!</math>以方程式表達為
:<math> P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega}\,\!</math>。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是[[每秒弧度]]（不是[[每分鐘轉速]]rpm，也不是每秒鐘轉速）。

==力矩原理==
'''力矩原理'''闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名'''伐里農定理'''({{lang|en|Varignon's theorem}})<ref>''Engineering Mechanics: Equilibrium'', by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64 </ref>（以法国科学家兼神父[[皮埃爾·伐里農]]命名），以方程式表達，
:<math>(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1) + (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2) + \cdots = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots)\,\!</math>。

==参考文献==
<references/>

==延伸阅读==
*{{cite book | author=Tipler, Paul | title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.) | url=https://archive.org/details/physicsforscient0002tipl | publisher=W. H. Freeman | year=2004 | id=ISBN 978-0-7167-0809-4}}

==參閱==
*[[馬力]]
*[[液力變矩器|扭力轉換器]]
*[[刚体动力学]]
*[[機械平衡]]（{{lang|en|mechanical equilibrium}}）
*[[扭矩扳手]]（{{lang|en|torque wrench}}）
*[[力矩密度]]

==外部链接==
*模擬力矩平衡的[http://www.phy.hk/wiki/chinesehtm/Torque.htm Java小程式]{{Wayback|url=http://www.phy.hk/wiki/chinesehtm/Torque.htm |date=20070304063623 }}
*[http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m34.pdf ''Torque and Angular Momentum in Circular Motion '']{{Wayback|url=http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m34.pdf |date=20170514213748 }} on [http://www.physnet.org Project PHYSNET]{{Wayback|url=http://www.physnet.org/ |date=20170514213748 }}.
*[http://www.lorenz-messtechnik.de/english/company/torque_unit_calculation.php Torque Unit Converter]{{Wayback|url=http://www.lorenz-messtechnik.de/english/company/torque_unit_calculation.php |date=20110719060118 }}

{{經典力學}}
{{经典力学国际单位}}

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