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[[File:Zhao Youqin circle dissection algorithm.jpg|thumb|right|300px|赵友钦割圆术]]
[[File:赵友钦割圆术书影.JPG|thumb|300px|赵友钦《[[革象新书]]》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影]]
'''赵友钦割圆术'''是元代数学家[[赵友钦]]在所著的《[[革象新书]]》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与[[刘徽]]从内接正六角形开始不同，赵氏割圆术从分割内接正方形开始<ref>[[李俨 (现代学者)|李俨]] 《中国数学史》 第六章《宋元数学》 144-145页 商务印书馆 1998  ISBN  978-7-100-01474-3</ref>。

如图，圆的半径为r; 内接正方形的边长为 <math>\ell</math>,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d

<math>d=\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2}</math>

<math>e=r-d=r-\sqrt{r^2-(\frac{\ell}{2})^2}</math>

d 的延长线与圆周相交点将圆周等分为正八边形。

令正八边形的边长为<math> \ell_2</math>

<math>\ell_2=\sqrt{(\ell/2)^2+e^2}</math>

<math>\ell_2=\frac{1}{2}*\sqrt{ \ell^2 +4*(r-\frac{1}{2}*\sqrt{4*r^2-\ell^2})^2    }</math>

设<math>\ell_3</math> 为分割圆成正16边形之边长，赵友钦正确地推断<math>\ell_3</math>与<math>\ell_2</math>的迭代关系：

<math>\ell_3=\frac{1}{2}*\sqrt{ (\ell_2)^2 +4*(r-\frac{1}{2}*\sqrt{4*r^2-(\ell_2)^2})^2    }</math>



推而广之：

<math>\ell_{n+1}=\frac{1}{2}*\sqrt{ (\ell_n)^2 +4*(r-\frac{1}{2}*\sqrt{4*r^2-(\ell_n)^2})^2    }</math>

令 r=1;

<math>\ell_1=\sqrt(2)</math>

<math>\ell_2=\sqrt{2-\sqrt(2)}</math>


<math>\ell_3=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt(2)}}</math>

<math>\ell_4=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt(2)}}}</math>

<math>\ell_5=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt(2)}}}}</math>

……

==圆周率==
赵友钦指出，分割越细，正多边形的边数愈多，正多边形越接近圆周。

{{quote|角数愈多而为方者不复方渐变为圆矣。故自一二次求之至十二次精密已极}}

他最后将千寸直径的圆周分割为正16384边形，从而获得

{{quote|三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽然有奇}}

 <math>\pi=\frac{3141.592}{1000}</math>
{| class="wikitable"
|-
! 正多边形!! 圆周率近似值
|-
| 4|| 3.121445
|-
| 8|| 3.136548
|-
| 16 || 3.140331
|-
| 32 || 3.141277
|-
| 64 || 3.141513
|-
| 128 || 3.141572
|-
| 256 || 3.141587
|-
| 512 || 3.141591
|-
| 1024|| 3.141592
|-
| 2048|| 3.141592
|-
|16384|| 3.141592+
|}

==密率==
南朝[[祖冲之]]发现密率：

<math>\pi\approx \frac{355}{113}</math>

但这个密率比在以后数百年间，无人问津，直到赵友钦重新提及这个密率分数<ref>{{Cite book|chapter=|url=https://www.worldcat.org/title/development-of-mathematics-in-china-and-japan/oclc/1297145|publisher=Chelsea Pub. Co.|date=1974|location=New York|isbn=978-0-8284-0149-4|oclc=1297145|language=En|first=Yoshio|last=Mikami|title=The development of mathematics in China and Japan|pages=135-136|access-date=2022-03-22|archive-date=2022-03-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20220322003448/https://www.worldcat.org/title/development-of-mathematics-in-china-and-japan/oclc/1297145}}</ref>。

赵友钦在获得

<math>\pi\approx \frac{3141.592}{1000}</math>

後，他将 3141.592 乘以 113

{{quote|以一百一十三乘之果得三百五十五尺，此为其法所以极精密也}}

<math>113*\pi\approx \frac{3141.592}{1000}*113=355</math>

即：

<math>\pi\approx \frac{355}{113}</math>

==参见==
[[割圆术 (刘徽)]]
==参考文献==
<references/>
{{中国数学史}}

[[category:中國古代數學]]
[[Category:圆周率算法]]
[[Category:数学近似]]