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前推 (微分)
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{{dablink|本文考虑[[微分几何]]中的前推算子，由[[光滑流形]]间的[[光滑映射]]的微分诱导。关于术语“前推”在数学中的其他使用，参见[[前推]]。}} 假设 ''φ'' : ''M'' → ''N'' 是光滑流形之间的光滑映射；则 ''φ'' 在一点 ''x'' 处的'''微分'''在某种意义上是 ''φ'' 在 ''x'' 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中[[全导数]]的推广。确切地说，它是从 ''M'' 在 ''x'' 处的[[切空间]]到 ''N'' 在 ''φ''(''x'') 处的切空间的一个[[线性映射]]，从而可以将 ''M'' 的切向量“前推”成 ''N'' 的切向量。 映射 ''φ'' 的微分也被一些的作者称为 ''φ'' 的'''导数'''或'''全导数'''，有时它自己也之称为'''前推'''（{{lang|en|pushforward}}）。 == 动机 == 设 ''φ'':''U''→''V'' 是从 '''R'''<sup>m</sup> 的一个[[开集#欧几里德空间|开集]] ''U'' 到 '''R'''<sup>n</sup> 的开集 ''V'' 的一个[[光滑函数#流形的光滑映射|光滑映射]]。对任何 ''U'' 中的给定点 ''x''， ''φ'' 在 ''x'' 的[[雅可比矩阵]]（关于标准坐标）是 ''φ'' 在 ''x'' 的[[全微分]]的[[矩阵]]表示，这是一个从 '''R'''<sup>m</sup> 到 '''R'''<sup>n</sup> 的线性映射： :<math>\mathrm d \varphi_x:\mathbb R^m\to\mathbb R^n\ .</math> 我们希望将其推广到 ''φ'' 是“任何”两个[[光滑流形]] ''M'' 与 ''N'' 之间的光滑映射。 == 光滑映射的微分 == 令 ''φ'' : ''M'' → ''N'' 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 ''x'' ∈ ''M''，''φ'' 在 ''x'' 的'''微分'''或'''（全）导数'''是从 ''M'' 在 ''x'' 的[[切空间]]到 ''N'' 在 ''φ''(''x'') 的切空间一个线性映射 :<math>\mathrm d \varphi_x:T_xM\to T_{\varphi(x)}N\ ,</math> 映射 d''φ''<sub>x</sub> 运用到切向量 ''X'' 上有时称为 ''X'' 由 ''φ'' 的'''前推'''。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见[[切空间]]）。 如果我们定义切向量为通过 ''x'' 的曲线等价类，那么微分由 :<math>\mathrm d \varphi_x(\gamma'(0)) = (\varphi \circ \gamma)'(0)</math> 给出，这里 ''γ'' 是 ''M'' 上满足 ''γ''(0) = ''x'' 的一条曲线。换句话说，一条曲线 ''γ'' 在 0 处切向量的前推恰好是 ''φ''<math>\circ</math>''γ'' 在 0 处的切向量。 另一种方式，如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的[[导子]]，那么微分由 :<math>\mathrm d\varphi_x(X)(f) = X(f \circ \varphi)</math> 给出，这里 ''X'' ∈ ''T<sub>x</sub>M''，从而 ''X'' 是定义在 ''M'' 上的一个导子而 ''f'' 是 ''N'' 上一个光滑实值函数。根据定义，在给定 ''M'' 上 ''x'' 处 ''X'' 的前推在 ''T''<sub>''φ''(''x'')</sub>''N'' 中，从而定义了一个N上的导子。 取定 ''x'' 与 ''φ''(''x'') 附近的[[坐标卡]]以后，''F'' 局部由 '''R'''<sup>''m''</sup> 与 '''R'''<sup>''n''</sup> 之间的光滑映射 :<math>{\hat \varphi} : U \rightarrow V</math> 确定。而 d''φ''<sub>x</sub> 具有表示（在 ''x'' 附近）： :<math>\mathrm d \varphi_x\Bigl(\frac{ \partial }{\partial u^a}\Bigr) = \frac{\partial {\hat \varphi}^b}{\partial u^a} \frac{ \partial }{\partial v^b},</math> 这里使用了[[爱因斯坦求和约定]]，偏导数对 ''x'' 坐标卡相应的 ''U'' 中的点取值。 线性扩张得到如下矩阵 :<math>(\mathrm d\varphi_x)_a^{\;b}= \frac{\partial {\hat\varphi}^b}{\partial u^a}.</math> 从而光滑映射 ''φ'' 在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从 '''R'''<sup>''m''</sup> 到 '''R'''<sup>''n''</sup> 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 ''φ'' 是一个[[局部微分同胚]]，那么在 ''x'' 点的前推是可逆的，其逆给出 ''T''<sub>''φ''(''x'')</sub>''N'' 的[[拉回 (微分几何)|拉回]]。 另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的[[线性同构]]。 微分经常有其他一些记法，比如 :<math>D\varphi_x,\; (\varphi_*)_x, \;\varphi'(x)\ .</math> 从定义可得出[[复合函数]]的微分便是微分的复合（即，具有[[函子]]性质），这便是光滑函数微分的[[链式法则]]。 == 切丛上的微分 == 光滑映射 ''φ'' 的微分以显而易见的方式诱导了从 ''M'' 的[[切丛]]到 ''N'' 的切丛的一个[[丛映射]]（事实上是[[向量丛同态]]），记为 d''φ'' 或 ''φ''<sub>*</sub>，满足如下的[[交换图表]]： [[File:SmoothPushforward-01.png|center]] 这里 ''π<sub>M</sub>'' 与 ''π<sub>N</sub>'' 分别表示 ''M'' 与 ''N'' 切丛的丛投影。 等价地（参见[[丛映射]]），''φ''<sub>*</sub> = d''φ'' 是从 ''TM'' 到 ''M'' 上的[[拉回丛]] ''φ<sup>*</sup>TN'' 的丛映射，这可以看成 ''M'' 上[[向量丛]] Hom(''TM'',''φ''<sup>*</sup>''TN'') 的一个[[截面 (纤维丛)|截面]]。 == 向量场的前推 == 给定了一个光滑映射 ''φ'':''M''→''N'' 与 ''M'' 上一个[[向量场]] ''X''，一般不能定义 ''X'' 通过 ''φ'' 的前推为 ''N'' 的一个向量场。譬如，如果映射 ''φ'' 不是[[满射]]，则在 ''φ'' 的像外部没有自然的方式定义拉回；如果 ''φ'' 不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何，可以用“沿着映射的向量场”概念将难处变精确。 ''M'' 上 ''φ<sup>*</sup>TN'' 的一个截面称为'''沿着 ''φ'' 的向量场'''。例如，如果 ''M'' 是 ''N'' 的一个子丛而 ''φ'' 是包含映射，那么沿着 ''φ'' 的向量场恰好是 ''N'' 沿着 ''M'' 的切丛的一个截面；特别的，''M'' 上的向量通过 ''TM'' 包含到 ''TN'' 中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。 假设 ''X'' 是 ''M'' 上一个向量场，即 ''TM'' 的一个截面。那么，运用逐点微分得出 ''X'' 的前推 ''φ''<sub>*</sub>''X''，这是一个沿着 ''φ'' 的向量场，即 ''M'' 上 ''φ<sup>*</sup>TN'' 的一个截面。 任何 ''N'' 上的向量场 ''Y'' 定义了 ''φ<sup>*</sup>TN'' 的一个[[拉回丛|拉回截面]] ''φ<sup>*</sup>Y'' 使得 (''φ<sup>*</sup>Y'')<sub>''x''</sub> = ''Y''<sub>''φ''(''x'')</sub>。''M'' 上一个向量场 ''X'' 与 ''N'' 上一个向量场 ''Y'' 称为 '''''φ''-相关'''的，如果作为沿着 ''φ'' 的向量场有 ''φ<sub>*</sub>X'' = ''φ<sup>*</sup>Y''。换句话说，对任何 ''x'' 属于 ''M''，有 d''φ''<sub>''x''</sub>(''X'')=''Y''<sub>''φ''(''x'')</sub>。 在某些情形，给定 ''M'' 上一个向量场 ''X''，''N'' 上只有惟一的向量场 ''Y'' 与 ''X'' ''φ''-相关。特别地，这在 ''φ'' 是[[微分同胚]]时自然成立。在这种情况下，前推定义了 ''N'' 上一个向量场 ''Y''，由 :<math>Y_x=\varphi_*(X_{\varphi^{-1}(x)}).</math> 给出。一个更一般的情形是 ''φ'' 为满射（比如纤维丛的[[纤维丛|丛投影]]）。这时 ''M'' 上的向量场 ''X'' 称为'''可投影'''的，如果对任何 ''y'' 属于 ''N'', d''φ''<sub>''x''</sub>(''X''<sub>''x''</sub>) 与 ''x'' 属于 ''φ''<sup>-1</sup>({''y''}) 的取法无关。这恰好是保证 ''X'' 的前推可以作为 ''N'' 上的一个[[良定]]的向量场的条件。 ==參閲== *[[拉回 (微分几何)|拉回]] ==参考文献== {{refbegin}} * John M. Lee, ''Introduction to Smooth Manifolds'', (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218. * Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 ''See section 1.6''. * [[Ralph Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden]], ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X ''See section 1.7 and 2.3''. {{refend}} [[Category:微分几何|Q]] [[Category:光滑函数|Q]]
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