查看“︁利萨茹曲线”︁的源代码

{{unreferenced|time=2017-12-26T09:48:10+00:00}}
[[File:Lissajous-Figur 1 zu 3 (Oszilloskop).jpg|thumb|200px|示波器上的利萨茹图形]]
[[File:3D Lissajous figure (9, 4, 1).jpg|thumb|200px|三维利萨茹图形]]
[[数学]]上，'''利萨茹'''（{{lang|fr|Lissajous}}）'''曲线'''（又称'''利萨茹图形'''、'''李萨如图形'''或'''鲍迪奇'''（{{lang|en|Bowditch}}）'''曲线'''）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

[[纳撒尼尔·鲍迪奇]]在1815年首先研究这一族[[曲线]]，[[朱尔·利萨茹]]在1857年作更详细研究。

== 数学定义 ==

利萨茹曲线由以下[[参数方程]]定义：
: <math>\begin{cases}
x( \theta)=a\sin(\theta)\\
y(\theta)=b\sin(n \theta + \phi)
\end{cases}</math>
其中<math> 0\le \phi \le \frac {\pi}{2} </math>，<math>n\ge 1\,</math>。

<math>n</math>称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则<math>n=\frac{q}{p}\,</math>，参数方程可以写作：
: <math>\begin{cases}
x( \theta)=a\sin(p\theta)\\
y(\theta)=b\sin(q \theta + \phi) \\
0\le \theta \le 2\pi
\end{cases}</math>，

其中<math> 0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}</math>。

== 性质 ==
*若<math>n</math>为无理数，曲线在长方形<math>[-a,a]\times[-b,b]</math>中[[稠密]]。
*若<math>n</math>为有理数， 
**曲线是<math>2q</math>次[[代数曲线]]若<math>\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2p} \right]</math>对奇数<math>p</math>，或<math>\phi \in \left[0,\frac{\pi}{2p} \right)</math>对偶数<math>p</math>。
**曲线是<math>q</math>次[[代数曲线]]的一部份若<math>\phi=0\,</math>对奇数<math>p</math>，或<math>\phi=\frac{\pi}{2p}</math>对偶数<math>p</math>。

*若<math>n</math>为偶数而<math> \phi = \frac{\pi}{2} </math>，或若<math>n</math>为奇数而<math> \phi =0\,</math>，则曲线是第<math>n</math>个[[切比雪夫多项式]]<math>T_n</math>的曲线的一部份。

== 特别情况 ==
*若<math>a=b</math>，<math>n=1</math>，则曲线是[[椭圆]]。
**若<math>\phi=\frac{\pi}{2}</math>，则这椭圆其实是[[圆]]。
**若<math>\phi=0\,</math>，则这椭圆其实是线段。
*若<math>a=b</math>，<math>n=q=2</math>（所以<math>p=1</math>），则曲线是[[besace]]。
**若<math>\phi=\frac{\pi}{2}</math>，则这besace是[[拋物线]]一部份。
**若<math>\phi=0\,</math>，则这besace是一个[[热罗诺双纽线]]。

以下是利萨茹曲线的例子，其中<math>\phi = 0</math>，<math>a = b</math>, <math>p</math>是奇数，<math>q</math>是偶数，<math>|p-q|= 1</math>。

<center><gallery>
File:Lissajous curve 1by2.svg|''p'' = 1, ''q'' = 2
File:Lissajous curve 3by2.svg|''p'' = 3, ''q'' = 2
File:Lissajous curve 3by4.svg|''p'' = 3, ''q'' = 4
File:Lissajous curve 5by4.svg|''p'' = 5, ''q'' = 4
File:Lissajous curve 5by6.svg|''p'' = 5, ''q'' = 6
File:Lissajous curve 9by8.svg|''p'' = 9, ''q'' = 8
File:Lissajous animation.gif
</gallery></center>

=== 频率比1:n和n:1的情况 ===
{| class="wikitable"
|-
! Δφ
! 1:1
! 1:2
! 1:3
!
! 2:1
|-
|0
|
[[file:Lissajous 1 1 0.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 2 0.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 3 0.svg]]
|
|
[[file:Lissajous 2 1 0.svg]]
|-
|¹/₄·π
|
[[file:Lissajous 1 1 0.25.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 2 0.25.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 3 0.25.svg]]
|
|
[[file:Lissajous 2 1 0.25.svg]]
|-
|¹/₂·π
|
[[file:Lissajous 1 1 0.5.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 2 0.5.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 3 0.5.svg]]
|
|
[[file:Lissajous 2 1 0.5.svg]]
|-
|³/₄·π
|
[[file:Lissajous 1 1 0.75.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 2 0.75.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 3 0.75.svg]]
|
|
[[file:Lissajous 2 1 0.75.svg]]
|-
|1·π
|
[[file:Lissajous 1 1 1.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 2 1.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 3 1.svg]]
|
|
[[file:Lissajous 2 1 1.svg]]
|-
|1¹/₄·π
|
[[file:Lissajous 1 1 1.25.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 2 1.25.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 3 1.25.svg]]
|
|
[[file:Lissajous 2 1 1.25.svg]]
|-
|1¹/₂·π
|
[[file:Lissajous 1 1 1.5.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 2 1.5.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 3 1.5.svg]]
|
|
[[file:Lissajous 2 1 1.5.svg]]
|-
|1³/₄·π
|
[[file:Lissajous 1 1 1.75.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 2 1.75.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 3 1.75.svg]]
|
|
[[file:Lissajous 2 1 1.75.svg]]
|-
|2·π
|
[[file:Lissajous 1 1 2.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 2 2.svg]]
|
[[file:Lissajous 1 3 2.svg]]
|
|
[[file:Lissajous 2 1 2.svg]]
|-
|}

=== 频率比n<sub>1</sub>:n<sub>2</sub>的情况 ===
{| class="wikitable"
|-
! Δφ
! 2:3
!
! Δφ
! 3:4
|-
|0
|[[file:Lissajous 2 3 0.svg]]
|
|0
|[[file:Lissajous 3 4 0.svg]]
|-
|¹/₂·¹/₄·π
|[[file:Lissajous 2 3 0.125.svg]]
|
|¹/₃·¹/₄·π
|[[file:Lissajous 3 4 0.083.svg]]
|-
|¹/₂·¹/₂·π
|[[file:Lissajous 2 3 0.25.svg]]
|
|¹/₃·¹/₂·π
|[[file:Lissajous 3 4 0.167.svg]]
|-
|¹/₂·³/₄·π
|[[file:Lissajous 2 3 0.375.svg]]
|
|¹/₃·³/₄·π
|[[file:Lissajous 3 4 0.25.svg]]
|-
|¹/₂·π
|[[file:Lissajous 2 3 0.5.svg]]
|
|¹/₃·π
|[[file:Lissajous 3 4 0.33.svg]]
|-
|5/8·π
|[[file:Lissajous 2 3 0.625.svg]]
|
|5/12·π
|[[file:Lissajous 3 4 0.417.svg]]
|-
|³/₄·π
|[[file:Lissajous 2 3 0.75.svg]]
|
|¹/₂·π
|[[file:Lissajous 3 4 0.5.svg]]
|-
|7/8·π
|[[file:Lissajous 2 3 0.875.svg]]
|
|7/12·π
|[[file:Lissajous 3 4 0.583.svg]]
|-
|1·π
|[[file:Lissajous 2 3 1.svg]]
|
|²/₃·π
|[[file:Lissajous 3 4 0.67.svg]]
|}

=== 演示 ===
[[鼠标]]悬浮在两个数字上时，通过[[滾輪按鈕|滚轮]]可以调节数字大小。<graph mode="interactive">
{
  "width": 450,
  "height": 400,
  "signals": [
    {
      "name": "point",
      "init": 0,
      "streams": [{"type": "mousemove,touchmove","expr": "eventX()"}]
    },
    {
      "name": "r",
      "init": [1,1],
      "streams": [
        {
          "type": "@w:wheel",
          "expr": "[clamp(r[0]+(1-datum.data)*clamp(event.deltaY,-1,1),1,20),clamp(r[1]+datum.data*clamp(event.deltaY,-1,1),1,20)]"
        }
      ]
    }
  ],
  "data": [
    {
      "name": "array",
      "values": [0,1,2,3,4,5],
      "transform": [
        {"type": "cross"},
        {
          "type": "formula",
          "field": "c",
          "expr": "datum.a.data*6+datum.b.data"
        },
        {"type": "cross"},
        {
          "type": "formula",
          "field": "c",
          "expr": "datum.a.c*36+datum.b.c"
        },
        {
          "type": "formula",
          "field": "x",
          "expr": "200+cos(r[0]*datum.c*PI*2/1295)*180"
        },
        {
          "type": "formula",
          "field": "y",
          "expr": "200+sin(r[1]*datum.c*PI*2/1295+point*PI*2/400)*180"
        }
      ]
    },
    {"name": "w","values": [0,1]}
  ],
  "marks": [
    {
      "type": "line",
      "from": {"data": "array"},
      "properties": {
        "update": {
          "x": {"field": "x"},
          "y": {"field": "y"},
          "stroke": {"value": "black"},
          "strokeWidth": {"value": 2}
        }
      }
    },
    {
      "type": "rect",
      "name": "w",
      "from": {"data": "w"},
      "properties": {
        "enter": {
          "x": {"value": 400},
          "y": {"field": "data","mult": 120,"offset": 20},
          "width": {"value": 40},
          "height": {"value": 40},
          "fill": {"value": "pink"},
          "cursor": {"value": "pointer"}
        }
      }
    },
    {
      "type": "text",
      "interactive": false,
      "from": {
        "data": "w",
        "transform": [
          {
            "type": "formula",
            "field": "c",
            "expr": "r[datum.data]"
          }
        ]
      },
      "properties": {
        "update": {
          "x": {"value": 420},
          "y": {"field": "data","mult": 120,"offset": 40},
          "width": {"value": 40},
          "height": {"value": 40},
          "fill": {"value": "black"},
          "align": {"value": "center"},
          "baseline": {"value": "middle"},
          "font": {"value": "TakaoExGothic"},
          "fontSize": {"value": 20},
          "text": {"template": "{{datum.c}}"}
        }
      }
    }
  ]
}
</graph>


== 在電子學上的應用 ==
藉由使用利萨茹圖形可以測量出兩個[[信號]]的[[頻率 (物理學)|頻率]]比與[[相位]]差。

== 外部連結 ==
*[http://www.phy.hk/wiki/chinesehtm/Lissajous.htm 利萨茹曲线的Java 3D示範] {{Wayback|url=http://www.phy.hk/wiki/chinesehtm/Lissajous.htm |date=20191229122936 }}

{{Authority control}}
[[Category:曲線]]