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數學上，'''別雷定理'''（'''{{lang-en|Belyi's theorem}}'''）是有關[[代數曲線]]的定理，指出任何用[[代數數]]係數定義的{{tsl|en|non-singular|非奇異}}代數曲線''C''，都代表這樣的一個{{tsl|en|Compact Riemann surface|緊黎曼曲面}}，這黎曼曲面能作為[[黎曼球面]]的{{tsl|en|ramified covering|分歧覆蓋}}，且只有三個分歧點。

這定理是{{tsl|en|G. V. Belyi|根納季·別雷}}1979年的結果。這個結果當時令人大感意外，激發[[格羅滕迪克]]發展出{{tsl|en|dessin d'enfant}}理論，使用[[組合數學]]資料描述代數數上的非奇異代數曲線。

格羅滕迪克曾在《{{tsl|en|Esquisse d'un Programme}}》評價這定理說：「不到一年後，在赫爾斯基的[[國際數學家大會]]中，蘇聯數學家別雷宣佈了正正這個結果，證明令人困惑地簡單，[[德利涅]]一封信的兩小頁也容得下。毫無疑問，從未有一個深刻且令人迷惑的結果，如此短短數行就證明出來！」<ref>{{cite web|url=http://www.math.uni-muenster.de/reine/u/topos/AG-Leray/Operads/Grothendieck-Esquisse%20d%27un%20programme.pdf|title=Esquisse d'un Programme|author=A. Grothendieck|page=p.17}}{{Dead link|date=2018年7月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=no }}</ref>

==上半平面的商==
從上推導出這樣的[[黎曼曲面]]可以取作
:''H'' / Γ
其中''H''是[[上半平面]]，Γ是{{tsl|en|modular group|模群}}的有限指數子群，曲面用[[尖點]]緊化。因為模群有{{tsl|en|non-congruence subgroup|非同餘子群}}，故此不可以作結論說任何這樣的曲線都是[[模曲線]]。

==別雷函數==
別雷函數是從緊黎曼曲面''S''到[[複射影直線]]'''P'''<sup>1</sup>('''C''')的[[全純映射]]，僅在三點分歧，這三點可以經由[[莫比烏斯變換]]取為<math> \{0, 1, \infty\}  </math>。別雷函數可以用dessin d'enfant給出組合數學描述。

別雷函數和dessin d'enfants（但不是別雷定理）至少可以追溯到[[菲利克斯·克萊因]]的工作。他用了這些概念去研究複射影直線的一個11重覆蓋，其{{tsl|en|monodromy group|單射群}}為PSL(2,11)。<ref>{{citation
 |last        = le Bruyn
 |first       = Lieven
 |title       = Klein’s dessins d’enfant and the buckyball
 |year        = 2008
 |url         = http://www.neverendingbooks.org/index.php/kleins-dessins-denfant-and-the-buckyball.html
 |deadurl     = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20140812202508/http://www.neverendingbooks.org/index.php/kleins-dessins-denfant-and-the-buckyball.html
 |archivedate = 2014-08-12
 |accessdate  = 2015-03-20
}}.</ref>{{Harv|Klein|1879}}

==應用==
別雷定理證明了別雷函數的存在性。這定理常應用於{{tsl|en|inverse Galois problem|伽羅瓦逆問題}}。

==參考==
{{reflist}}
{{refbegin}}
*[[J.-P. Serre|Serre, J.-P.]] (1989), ''Lectures on the Mordell-Weil Theorem'', p.&nbsp;71
*{{cite journal|title=Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen|journal=Mathematische Annalen|doi=10.1007/bf02086276|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02086276|date=1879-09-01|volume=15|issue=3-4|language=de|pages=533–555|issn=0025-5831|accessdate=2018-04-02|author=Felix Von Klein|archive-date=2018-06-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20180618160850/https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02086276|dead-url=no}}
*{{cite journal|url=http://mr.crossref.org/iPage?doi=10.1070%2FIM1980v014n02ABEH001096|pages=247–256|title=ON GALOIS EXTENSIONS OF A MAXIMAL CYCLOTOMIC FIELD|journal=Mathematics of the USSR-Izvestiya|volume=14|issue=2|accessdate=2018-04-02|doi=10.1070/im1980v014n02abeh001096|author=G V Belyĭ|archive-date=2018-06-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20180601230250/http://mr.crossref.org/iPage?doi=10.1070%2FIM1980v014n02ABEH001096|dead-url=no}}
{{refend}}

==參看==
* {{citation | last1=Girondo | first1=Ernesto | last2=González-Diez | first2=Gabino | title=Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=79 | location=Cambridge | publisher=[[劍橋大學出版社|Cambridge University Press]] | year=2012 | isbn=978-0-521-74022-7 | zbl=1253.30001 }}
* {{citation | editor1=Dorian Goldfeld | editor2=Jay Jorgenson | editor3=Peter Jones | editor4=Dinakar Ramakrishnan | editor5=Kenneth A. Ribet | editor6=John Tate | title=Number Theory, Analysis and Geometry.  In Memory of Serge Lang | publisher=Springer | year=2012 | isbn=978-1-4614-1259-5 | author=Wushi Goldring | chapter=Unifying themes suggested by Belyi's Theorem | pages=181–214 }}

{{DEFAULTSORT:B別雷定理}}
[[Category:代數曲線]]
[[Category:代数几何定理]]