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在[[群論]]中，'''初等阿貝爾群'''是有限[[阿貝爾群]]，這里的所有非平凡元素都有 ''p'' 階而 ''p'' 是素數。

通過[[有限生成阿貝爾群]]的分類，所有初等阿貝爾群必定有如下形式

:(''Z''/''pZ'')<sup>''n''</sup>

對于非負整數 ''n''。這里的 ''Z/pZ'' 指示 ''p'' 階的[[循環群]](或等價的整數[[模算術|模以]] ''p'')，而冪符號表示意味著 ''n'' 元笛卡爾積。

== 例子和形式 ==

* 初等阿貝爾群 (''Z''/2''Z'')<sup>2</sup> 有四個元素: { [0,0], [0,1], [1,0], [1,1] }。加法是逐分量進行，結果要模以 2。例如，[1,0] + [1,1] = [0,1]。

* (''Z''/''pZ'')<sup>''n''</sup> 由 ''n'' 個元素生成，而 ''n'' 是最小的可能的生成元數目。特別是集合 {''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>} 這里的 ''e''<sub>''i''</sub> 在第 ''i'' 個分量中為 1 而在其他地方為 0 是極小生成集合。

* 所有初等阿貝爾群都有非常簡單的[[群的展示|有限展示]]:

:(''Z''/''pZ'')<sup>''n''</sup> <math>\cong</math> &lt; ''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub> | ''e''<sub>''i''</sub><sup>''p''</sup> = 1, ''e''<sub>''i''</sub>''e''<sub>''j''</sub> = ''e''<sub>''j''</sub>''e''<sub>''i''</sub>  &gt;

== 向量空間結構 ==

假設 ''V'' = (''Z''/''pZ'')<sup>''n''</sup> 是初等阿貝爾群。因為 ''Z''/''pZ'' <math>\cong</math> ''F''<sub>''p''</sub>，即 ''p'' 個元素的[[有限域]]，我們有 ''V'' = (''Z''/''pZ'')<sup>''n''</sup> <math>\cong</math> ''F''<sub>''p''</sub><sup>''n''</sup>，所以 ''V'' 可以被認為是在域 ''F''<sub>''p''</sub> 上的 ''n''-維[[向量空間]]。  

機警的讀者可能發現 F<sub>''p''</sub><sup>''n''</sup> 有比群 ''V'' 更大的結構，特別是它除了(向量/群)加法之外還有標量乘法。但是 ''V'' 作為阿貝爾群有唯一一個 ''Z''-[[模]]結構，這里的 ''Z'' 的[[群作用|作用]]對應於重復的加法，而這個 ''Z''-模結構一致於 ''F''<sub>''p''</sub> 標量乘法。就是說，''c''&middot;''g'' = ''g''&nbsp;+&nbsp;''g''&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;''g'' (''c'' 次) 這里的 ''c'' 在 ''F''<sub>''p''</sub> 中(考慮為整數帶有 0&nbsp;&le;&nbsp;''c''&nbsp;<&nbsp;''p'') 給予 ''V'' 一個自然的 ''F''<sub>''p''</sub>-模結構。

== 自同構群 ==

作為向量空間 ''V'' 有如例子中那樣的[[基 (線性代數)|基]] {''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>}。如果我們選取 {''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>} 為任何 ''V'' 的 ''n'' 個元素，則通過[[線性代數]]我們有映射 ''T''(''e''<sub>''i''</sub>) = ''v''<sub>''i''</sub> 唯一擴張為 V 的線性變換。每個這種 T 都可以被認為是從 ''V'' 到 ''V'' 的[[群同態]]([[自同態]])并同 ''V'' 的任何自同態一樣可以被認為是 ''V'' 作為向量空間的線性變換。

如果我們限制注意力於 ''V'' 的[[群同構#自同構|自同構]]，我們有 Aut(''V'') = { ''T'' : ''V'' -> ''V'' | ker ''T'' = 0 } = GL<sub>''n''</sub>(''F''<sub>''p''</sub>)，即在 F<sub>''p''</sub> 上的 ''n'' &times;''n'' 可逆矩陣的[[一般線性群]]。

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[[Category:有限群]]