查看“︁初等群論”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{Groups}}
在[[數學]]中，[[群]] <''G'',*> 定義為[[集合 (数学)|集合]] ''G'' 和叫做“乘積”并指示為[[中綴]] "*" 的 ''G'' 上的[[二元運算]]。乘積服從下列規則(也叫做[[公理]])。設 ''a'', ''b'' 和 ''c'' 是 ''G'' 的任意元素。則:
*'''A1''', [[閉包 (數學)|封閉性]]。 ''a''*''b'' 在 ''G'' 中；
*'''A2''', [[結合律]]。(''a''*''b'')*''c'' = ''a''*(''b''*''c'')；      
*'''A3''', [[單位元]]。存在一個 ''G'' 中的[[單位元]] ''e'' 使得 ''a''*''e'' = ''e''*''a'' = ''a''。 ''G'' 的單位元 ''e'' 據下述定理 1.4 是唯一性的；
*'''A4'''，[[逆元]]。對於每個 ''G'' 中 ''a''，存在一個 ''G'' 中的[[逆元]] ''x'' 使得 ''a''*''x'' = ''x''*''a'' = ''e''。''a'' 的逆元 ''x'' 據下述定理 1.5 是唯一性的。

[[阿貝爾群]]還服從額外的規則:
*'''A5'''，[[交換律]]。''a''*''b'' = ''b''*''a''。

封閉性是二元運算定義的一部分，因此 '''A1''' 經常省略。

==細節==

*群乘積 "*" 不必然是乘法。加法也可以，很多更不標準的運算也行。
*在 * 是標準運算的時候，我們轉而使用標準符號(比如對加法使用 +)。
*在 * 是加法或(除了乘法)任何[[交換律|交換運算]]的時候，0 通常指示單位元，而 -''a'' 指示 ''a'' 的逆元。運算總是用非 * 的東西經常為 + 來避免混淆於乘法。
*在 * 是乘法或非交換運算的時候，''a''*''b'' 經常寫為 ''ab''。1 通常指示單位元，而''a''<sup>&nbsp;-1</sup> 通常指示 ''a'' 的逆元。 
*群 <''G'',*> 經常被稱為“群 ''G''”或簡稱“''G''”；但是運算 "*" 對于群的描述是基礎性的。
*<''G'',*> 經常念為“在 * 下的群 ''G''”。在斷定 ''G'' 是一個群的時候(比如在定理中)，我們說“''G'' 是在 * 下的一個群”。

==例子==

''G'' = {1,-1} 是乘法下的一個群，因為對于所有 ''G'' 中的元素 ''a'', ''b'', ''c'':
:A1: ''a''*''b'' 是 ''G'' 的一個元素.
:A2: (''a''*''b'')*''c'' = ''a''*(''b''*''c'') 可以通過枚舉所有 8 種可能(和平凡的)情況來驗證。
:A3: ''a''*1 = ''a''。因為 1 是[[單位元]]。
:A4: ''a''<sup>-1</sup>*''a'' = 1。因此 ''a''<sup>-1</sup> 指示逆元而單位元 1 是自身的[[逆元]]。

[[整數]]集 '''Z''' 和[[實數]]集 '''R''' 是在加法 '+' 下的群，對于所有 '''Z''' 或者 '''R''' 中的元素 ''a'', ''b'' 和 ''c'':
:A1: 任何兩個數相加產生同類的另一個數。
:A2: (''a''+''b'')+''c'' = ''a''+(''b''+''c'')。
:A3: ''a''+0 = ''a''。因此 0 是[[單位元]]。
:A4: -''a''+''a'' = 0。因此 -''a'' 指示逆元而單位元 0 是自身的[[逆元]]。

[[實數]]集 '''R''' '''不'''是乘法 '*' 下的群。對于所有 '''R''' 中的 ''a'', ''b'' 和 ''c'':
:A3: 單位元是 1。
:A4: 0*''a'' = 0，所以 0 沒有逆元。
[[實數]]集去除 0 即 '''R<sup>#</sup>''' 是在乘法 '*' 下的群。
:A1: 任何兩個 '''R<sup>#</sup>''' 的元素相乘產生 '''R<sup>#</sup>''' 的另一個元素。
:A2: (''a''*''b'')*''c'' = ''a''*(''b''*''c'')。
:A3: ''a''*1 = ''a''。因此 1 指示單位元。
:A4: ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''a'' = 1。因此 ''a''<sup>&nbsp;-1</sup> 指示逆元。

==可替代的公理==

A3 和 A4 可以被替代為:
*'''A3&rsquo;'''，左單位元。存在一個 ''G'' 中元素 ''e'' 使得對於所有 ''G'' 中的 ''a''，''e''*''a'' = ''a''。
*'''A4&rsquo;'''，左逆元，對於每個 ''G'' 中的 ''a''，存在一個 ''G'' 中的元素 ''x'' 使得 ''x''*''a'' = ''e''。

還可以替代為:
*'''A3&rsquo;&rsquo;'''，右單位元。存在一個 ''G'' 中的 ''e'' 使得對於所有 ''G'' 中的 ''a''，''a''*''e'' = ''a''。
*'''A4&rsquo;&rsquo;'''，右逆元。對於每個 ''G'' 中的 ''a''，存在一個 ''G'' 中的元素 ''x'' 使得 ''a''*''x'' = ''e''。

這些看起來更弱的公理對天然的蘊含於 A3 和 A4 中。我們現在證明逆過來也是真的。

'''定理''':  A1 和 A2 ，A3&rsquo; 和 A4&rsquo; 蘊含 A3 和 A4。

''證明''。假設給出了左單位元 ''e'' 和 ''G'' 中的 ''a''，根據 A4&rsquo;存在一個 ''x'' 使得 ''x''*''a'' = ''e''。

我們欲證明的是 ''a''*''x'' = ''e''。
根據 A4&rsquo;存在 ''G'' 中的一個 ''y'' 有著:
:<math> y * (a * x) = e \quad (1)</math>

所以:
:{|
|e || = y * (a * x)             || (1)    
|-
|  || = y * (a * (e * x))       || (A3')  
|-
|  || = y * (a * ((x * a) * x)) || (A4')  
|-
|  || = y * (a * (x * (a * x))) || (A2)   
|-
|  || = y * ((a * x) * (a * x)) || (A2)   
|-
|  || = (y * (a * x)) * (a * x) || (A2)   
|-
|  || = e * (a * x)             || (1)    
|-
|  || = a * x                   || (A3')   
|}
這確立了 A4。

:{|
|a * e || =  a * (x * a) ||  (A4) 
|-
|      || =   (a * x) * a || (A2)  
|-
|      || =   e * a       || (A4)  
|}
這確立了 A3。

'''定理''': A1 和 A2，A3&rsquo;&rsquo;和 A4&rsquo;&rsquo;蘊含 A3 和 A4。

''證明''。類似上述。

==基本定理==

===單位元唯一===

'''定理 1.4''': 群 <''G'',*> 的單位元是唯一的。

''證明'': 假設 ''e'' 和 ''f'' 是 ''G'' 的兩個單位元。則
:{|
|e || =  e * f || (A3'') 
|-
|  || =  f     || (A3')  
|}
在討論和比較不同的群的時候，''e''<sub>''G''</sub> 指示特定群 <''G'',*> 的唯一單位元。

===逆元唯一===

'''定理 1.5''': <''G'',*> 中每個元素的逆元是唯一的。

''證明'': 假設 ''h'' 和 ''k'' 是 ''G'' 的元素 ''g'' 的兩個逆元。則
:{|
|h || =  h * e       || (A3) 
|-
|  || =  h * (g * k) || (A4) 
|-
|  || =  (h * g) * k || (A2) 
|-
|  || =  (e * k)     || (A4) 
|-
|  || =  k           || (A3) 
|}

沒有歧義性的，對於所有 ''G'' 中的''a''，我們指示 ''a'' 的唯一逆元為 ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>。

===拉丁方陣性質===
{{seealso|拉丁方陣性質}}
'''定理 1.3''': 對於所有 ''G'' 中元素 ''a'',''b''，存在唯一的 ''G'' 中的 ''x'' 使得 ''a''*''x'' = ''b''。

''證明''。的確存在至少一個這種 ''x''，因為如果我們設 ''x'' = ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''b''，則 ''x'' 在 ''G'' 中(通過 A1，閉包)并且:
* ''a''*''x'' = ''a''*(''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''b'') (代換 ''x'')
* ''a''*(''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''b'') = (''a''*''a''<sup>&nbsp;-1</sup>)*''b'' (結合律 A2)。
*(''a''*''a''<sup>&nbsp;-1</sup>)*''b'' = ''e''*''b'' = ''b''. (單位元 A3)。
*因此總是存在一個 ''x'' 滿足 ''a''*''x'' = ''b''。
為了證明這是唯一性的，如果 ''a''*''x'' = ''b''，則
* ''x'' = ''e''*''x'' 
* ''e''*''x'' = (''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''a'')*x 
* (''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''a'')*x = ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*(''a''*''x'') 
* ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*(''a''*''x'') = ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''b''
* 因此，''x'' = ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''b''
類似的，對於所有 ''G'' 中的 ''a'',''b''，存在唯一的一個 ''G'' 中的 ''y'' 使得 ''y''*''a'' = ''b''。

===兩次逆換回到起點===

'''定理 1.6''': 對於所有群 ''G'' 中的元素 ''a''，(''a''<sup>&nbsp;-1</sup>)<sup>&nbsp;-1</sup> = ''a''。

''證明''。''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''a'' = ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*(''a''<sup>&nbsp;-1</sup>)<sup>&nbsp;-1</sup>=''e''。(A4)

由定理 1.5知定理1.6成立。

===''ab''的逆元===

'''定理 1.7''': 對於所有群 ''G'' 中元素 ''a'',''b''，(''a''*''b'')<sup>&nbsp;-1</sup> = ''b''<sup>&nbsp;-1</sup>*''a''<sup>&nbsp;-1</sup>。

''證明''。(''a''*''b'')*(''b''<sup>&nbsp;-1</sup>*''a''<sup>&nbsp;-1</sup>) = ''a''*(''b''*''b''<sup>&nbsp;-1</sup>)*''a''<sup>&nbsp;-1</sup> = ''a''*e*''a''<sup>&nbsp;-1</sup> = ''a''*''a''<sup>&nbsp;-1</sup> = ''e''。結論得出自定理 1.4。

===消除===

'''定理 1.8''': 對于所有群 ''G'' 中的元素 ''a'',''x'' 和 ''y''，如果 ''a''*''x'' = ''a''*''y''，則 ''x'' = ''y''；并且如果 ''x''*''a'' = ''y''*''a''，則 ''x'' = ''y''。

''證明''。如果 ''a''*''x'' = ''a''*''y'' 則:
* ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*(''a''*''x'') = ''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*(''a''*''y'')
* (''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''a'')*''x'' = (''a''<sup>&nbsp;-1</sup>*''a'')*''y''
* ''e''*''x'' = ''e''*''y''
* ''x'' = ''y''
如果 ''x''*''a'' = ''y''*''a'' 則
* (''x''*''a'')*''a''<sup>&nbsp;-1</sup> = (''y''*''a'')*''a''<sup>&nbsp;-1</sup>
* ''x''*(''a''*''a''<sup>&nbsp;-1</sup>) = ''y''*(''a''*''a''<sup>&nbsp;-1</sup>)
* ''x''*''e'' = ''y''*''e''
* ''x'' = ''y''

===冪===

對於 <math>n \in \mathbb{Z}</math> 和 <math>a \in G</math> 我們定義:
:<math>
a ^ n :=
\begin{cases}
\underbrace{a*a*\cdots*a}_{n \mbox{times}}, & \mbox{if }n > 0 \\
1, & \mbox{if }n = 0 \\
\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\cdots*a^{-1}}_{-n \mbox{times}}, & \mbox{if }n < 0
\end{cases}
</math>
 
'''定理 1.9''': 對于所有群 <''G'',*> 中的 ''a''，<math>n, m \in \mathbb{Z}</math>:
:<math>
\begin{matrix}
a^m*a^n &=& a^{m+n}\\
(a^m)^n &=& a^{m*n}
\end{matrix}
</math>

類似的如果 ''G'' 使用了加法符號，我們有:
:<math>
n * a :=
\begin{cases}
\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \mbox{times}}, & \mbox{if }n > 0 \\
0, & \mbox{if }n = 0 \\
\underbrace{(-a)+(-a)+\cdots+(-a)}_{-n \mbox{times}}, & \mbox{if }n < 0
\end{cases}
</math>

并且:
:<math>
\begin{matrix}
(m*a) +(n*a) &=& (m+n)*a\\
m*(n*a) &=& (m*n)*a
\end{matrix}
</math>

==階==
===群元素的階===

群 ''G'' 中的元素 ''a'' 的階是最小正整數 ''n'' 使得 ''a<sup>n</sup> = e''。有些它寫為“o(''a'')=''n''”。''n'' 可以是無限的。

'''定理 1.10''': 其非平凡元素都是 2 階的群是[[阿貝爾群]]。換句話說，如果所有群 ''G'' 中的元素 ''g'' 都有 ''g''*''g''=''e'' 成立，則對於所有 ''G'' 中的 ''a'',''b''，''a''*''b'' = ''b''*''a''。


''證明 1''。設 ''a'', ''b'' 是群 ''G'' 中任何 2 個元素。
由 '''公理 A1''' 可知 (''a''*''b'') 是群 ''G'' 的元素，所以 (''a''*''b'') 是群 ''G'' 的 2 階元素
* ''a''*''b''*''a''*''b'' = (''a''*''b'')*(''a''*''b'') = ''e''  ...'''(1)''' by '''公理 A2'''
* ''a''*''b''*''b''*''a'' = ''a''*''e''*''a'' = ''a''*''a''= ''e'' ...'''(2)''' by ''a'',''b''都是群 ''G'' 的 2 階元素
* ''a''*''b''*''b''*''a'' = ''a''*''b''*''a''*''b'' ...'''(3)''' by 式'''(1)''',式'''(2)'''兩式皆等於''e''
* ''b''*''b''*''a'' = ''b''*''a''*''b''  ...'''(4)''' by '''定理 1.8'''
* ''b''*''a'' = ''a''*''b''  ...'''(5)''' by '''定理 1.8'''
因為群運算 * 是符合交換律的，這個群是[[阿貝爾群]]。


''證明 2''。設 ''a'', ''h'' 是群 ''G'' 中任何 2 個元素。通過 A1，''a''*''h'' 也是 ''G'' 的成員。使用給定條件，我們知道 (''a''*''h'')*(''a''*''h'') = ''e''。因此:
* ''a''*(''a''*''b'')*(''a''*''b'') = ''a''*''e''
* ''a''*(''a''*''b'')*(''a''*''b'')*''b'' = ''a''*''e''*''b''
* (''a''*''a'')*(''b''*''a'')*(''b''*''b'') = (''a''*''e'')*''b''
* ''e''*(''b''*''a'')*''e'' = ''a''*''b''
* ''b''*''a'' = ''a''*''b''。
因為群運算 * 是符合交換律的，這個群是[[阿貝爾群]]。

===群的階===

群 ''G'' 的[[階 (群論)|階]]，通常指示為 |''G''| 或偶爾指示為 o(''G'')，在 <''G'',*> 是有限群的情況下是集合 ''G'' 中元素的數目。如果 ''G'' 是[[無限集合]]，則群 <''G'',*> 有等于 ''G'' 的[[勢]]的階，而且是無限群。

==子群==

''G'' 的[[子集]] ''H'' 被稱為群 <''G'',*> 的[[子群]]，如果使用相同的算子 "*"，并限制於子集 ''H'' 內，''H'' 滿足群公理。因此如果 ''H'' 是 <''G'',*> 的子群，則 <''H'',*> 也是群，并在限制於 ''H'' 內，滿足上述定理。子群 ''H'' 的階是 ''H'' 中元素的數目。

群 ''G'' 的真子群是不同於 ''G'' 的子群。''G'' 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 ''e'' 的元素的 ''G'' 的真子集。

'''定理 2.1''': 如果 ''H'' 是 <''G'',*> 的子群，則 在 ''H'' 中的單位元 ''e''<sub>''H''</sub> 同一於 (''G'',*) 中的單位元 ''e''。

''證明''。如果 ''h'' 在 ''H'' 中，則 ''h''*''e''<sub>''H''</sub> = ''h''；因為 ''h'' 必定也在 ''G'' 中，''h''*''e'' = ''h''；所以通過定理 1.4，''e''<sub>''H''</sub> = ''e''。

'''定理 2.2''': 如果 ''H'' 是 ''G'' 的子群，并且 ''h'' 是 ''H'' 的元素，則 ''h'' 在 ''H'' 中的逆元同一於 ''h'' 在 ''G'' 中的逆元。

''證明''。設 ''h'' 和 ''k'' 是 ''H'' 的元素，使得 ''h''*''k'' = ''e''；因為 ''h'' 必定也在 ''G'' 中，''h''*''h''<sup>&nbsp;-1</sup> = ''e''；所以通過定理 1.5，''k'' = ''h''<sup>&nbsp;-1</sup>。

給定 ''G'' 的子集 ''S''，我們經常想要確定 ''S'' 是否也是 ''G'' 的子群。一個手頭的定理對無限群和有限群都是有效的:

'''定理 2.3''': 如果 ''S'' 是 ''G'' 的非空子集，則 ''S'' 是 ''G'' 的子群，當且僅當對於所有 ''S'' 中的 ''a'',''b''，''a''*''b''<sup>&nbsp;-1</sup> 在 ''S'' 中。

''證明''。如果對於所有 ''S'' 中的 ''a'', ''b''，''a''*''b''<sup>&nbsp;-1</sup> 在 ''S'' 中，則
* ''e'' 在 ''S'' 中，因為 ''a''*''a''<sup>&nbsp;-1</sup> = ''e'' 在 ''S'' 中。
* 對於所有 ''S'' 中的 ''a''，''e''*''a''<sup>&nbsp;-1</sup> = ''a''<sup>&nbsp;-1</sup> 在 ''S'' 中。
* 對於所有 ''S'' 中的 ''a'', ''b''，''a''*''b'' = ''a''*(''b''<sup>&nbsp;-1</sup>)<sup>&nbsp;-1</sup> 在 ''S'' 中。
因此，滿足了閉包、單位元和逆元公理，而結合律是繼承來的，所以 ''S'' 是子群。

反過來說，如果 ''S'' 是 ''G'' 的子群，則它滿足群公理。
* 如上所述，''S''  中單位元同一於 ''G'' 中的單位元 ''e''。
* 通過 A4，對於所有 ''S'' 中的 ''b''，''b''<sup>&nbsp;-1</sup> 在 ''S'' 中。
* 通過 A1，''a''*''b''<sup>&nbsp;-1</sup> 在 ''S'' 中。

兩個或更多個子群的交集也是子群。

'''定理 2.4''': 群 ''G'' 的子群的任何非空集合的交集是子群。

''證明''。設 {''H''<sub>''i''</sub>} 是 ''G'' 的子群的集合，并設 K = ∩{''H''<sub>''i''</sub>}。通過定理 2.1，''e'' 是所有 ''H''<sub>''i''</sub> 的成員；因此 ''K'' 非空。如果 ''h'' 和 ''k'' 是 ''K'' 的兩個元素，則對於所有 ''i''， 
* ''h'' 和 ''k'' 在 ''H''<sub>''i''</sub> 中。
* 通過前面的定理，''h''*''k''<sup>&nbsp;-1</sup> 在 ''H''<sub>''i''</sub>。
* 所以，''h''*''k''<sup>&nbsp;-1</sup> 在 ∩{''H''<sub>''i''</sub>} 中。
因此對于 ''K'' 中的所有 ''h'', ''k''，''h''*''k''<sup>&nbsp;-1</sup> 在 ''K'' 中。接著通過前面的定理，''K''=∩{''H''<sub>''i''</sub>} 是 ''G'' 的子群；并且事實上 ''K'' 是每個 ''H''<sub>''i''</sub> 的子群。

給定一個群 <''G'',*>，定義 ''x''*''x'' 為 ''x''², ''x''*''x''*''x''*...*''x'' (''n'' 次)為 ''x''<sup>''n''</sup>，并定義 ''x''<sup>0</sup> = ''e''。類似的，定義 ''x''<sup>&nbsp;-''n''</sup> 為 (''x''<sup>&nbsp;-1</sup>)<sup>''n''</sup>。則我們有:

'''定理 2.5''': 設 ''a'' 是群 (''G'',*) 的元素。則集合 { ''a''<sup>''n''</sup>: ''n'' 是整數 } 是 ''G'' 的子群。

''證明''。這種類型的子群叫做[[循環群|循環]]子群；''a'' 的冪的子群經常寫為 <''a''>，并稱為 ''a'' [[群的生成集合|生成]] <''a''>。

==陪集==

如果 ''S'' 和 ''T'' 是 ''G'' 的子集，并且 ''a'' 是 ''G'' 的元素，我們寫“''a''*''S''”來提及形如 ''a''*''s'' 的所有元素構成的 ''G'' 的子集，這里的 ''s'' 是 ''S'' 的元素；類似的，我們寫“''S''*''a''”來指示形如 ''s''*''a'' 的元素的集合。我們寫 ''S''*''T'' 表示形如 ''s''*''t'' 的元素構成的 ''G'' 的子集，這里的 ''s'' 是 ''S'' 的元素而 ''t'' 是 ''T'' 的元素。

如果 ''H'' 是 ''G'' 的子群，則 ''H'' 對于某個 ''G'' 中的 ''a'' 的左[[陪集]]是集合 ''a''*''H''。右陪集是集合 ''H''*''a''。

如果 ''H'' 是 ''G'' 的子群，則下面陳述而不帶證明的有用定理對所有陪集都成立:

* 如果 ''x'' 和 ''y'' 是 ''G'' 的元素，則要么 ''x''*''H'' = ''y''*''H''，要么 ''x''*''H'' 和 ''y''*''H'' 有空交集。

* 所有 ''H'' 在 ''G'' 中的左(右)陪集都包含相同數目的元素。

* ''G'' 是 ''H'' 的左(右)陪集們的不交并集。

* 那么 ''H'' 的不相同的左陪集的數目等于 ''H'' 的不相同的右陪集的數目。

定義群 ''G'' 的子群 ''H'' 的指標(寫為“[''G'':''H'']”)為 ''H'' 在 ''G'' 中不同的左陪集的數目。

從這些定理，我們可以推導出重要的拉格朗日定理，它有關於群的子群的階:

*''' [[拉格朗日定理 (群論)|拉格朗日定理]]''': 如果 ''H'' 是 ''G'' 的子群，則 |''G''| = |''H''|*[''G'':''H'']。

對于有限群，它可以重申為:

*'''拉格朗日定理''': 如果 ''H'' 是有限群 ''G'' 的子群，則 ''H'' 的階整除 ''G'' 的階。

*如果群 ''G'' 的階是素數，''G'' 是循環群。

==參見==
*[[群論]]
*[[阿貝爾群]]
*[[群論術語]]

== 引用 ==
* Jordan, C. R and D.A. ''Groups''. Newnes (Elsevier), ISBN 0-340-61045-X
* Scott, W R. ''Group Theory''. Dover Publications, ISBN 0-486-65377-3

[[Category:群論]]