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在[[数学]]以及[[动力系统]]中，'''初始條件'''（initial condition），有時也稱為'''種子值'''（seed value）<ref>{{cite book |last=Baumol |first=William J. |title=Economic Dynamics: An Introduction |url=https://archive.org/details/economicdynamics0000baum_c7i2 |url-access=registration |location=London |publisher=Collier-Macmillan |edition=3rd |year=1970 |isbn=0-02-306660-1 }}</ref>{{rp|pp. 160}}，是系統未知變數在初始時間（一般表示為''t''&nbsp;=&nbsp;0）下的值。考慮以下的[[初值問題]]，其中的<math>y(0) = 19 </math>和<math>y(0) = 3 </math>即為初值條件。

:<math> y' = 0.85 y,\qquad y(0) = 19 </math>
:<math>\dot y+3y=6t+5,\qquad y(0)=3</math>

針對''k''階[[微分方程]]系統（若在離散時間系統下，是時間延遲的次數，若是連續時間系統，則是微分的總次數），其[[向量空间的维数|维数]]為''n''（表示有''n''個變數，也可以組成n維的向量），一般會需要''nk''個初始條件，才能完整的追蹤系統的變數。 

在連續時間下的[[微分方程]]或是離散時間下的[[遞迴關係式]]中，初始條件都會影響後續時間的變數值。若是連續時間系統，針對一動力系統以及其初始條件，要求得其狀態變數相對時間函數的[[解析解]]，稱為[[初值問題]]。離散系統中也有對應的問題。若無法求得解析解，可能會用迭代的方式，逐步計算各變數在不同時間下的值，不過因為誤差的關係，在長時間後，數值偏差可能會越來越大。

==線性系統==

===離散時間===
線性齊次[[矩陣差分方程]]（沒有常數項），型式為<math>X_{t+1}=AX_t</math>的差分方程，有解析解<math>X_t=A^tX_0</math>，其中的向量<math>X_0</math>是個別變數初始始組成的向量。<math>X_0</math>可以稱為初始條件向量，或稱為初始條件，其中包括有''nk''個資訊，''n''是向量''X''的維度，而''k''&nbsp;=&nbsp;1是系統的時間延遲次數。線性系統的初始條件不會影響狀態變數未來行為的特性，此系統是否[[穩定性理論|穩定]]是由矩陣''A''的特徵值所決定，不是依初始條件決定。

一個由單一變數以及多數時間延遲組成的系統如下

:<math>x_t=a_1x_{t-1} +a_2x_{t-2}+\cdots +a_kx_{t-k}.</math>

此處的維度''n''&nbsp;=&nbsp;1，階數為''k''，因此要追蹤此系統特性，需要的初始條件個數為''nk''&nbsp;=&nbsp;''k''。其初始條件不會影響變數長期演進的特性。方程式的解是由特徵方程式<math>\lambda^k-a_1\lambda^{k-1} -a_2\lambda^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda-a_k=0</math>的根決定，所得的是<math>\lambda_1, \dots , \lambda_k,</math>等特徵值，用在以下解的方程式中

:<math>x_t=c_1\lambda _1^t+\cdots + c_k\lambda _k^t.</math>

其中的常數<math>c_1, \dots , c_k</math>可以以此方程來求解''k''個差分方程後，考慮初始條件的結果來求得。

===連續時間===
有''n''個變數的一階微分方程，將變數都放在向量''X''中，可得

:<math>\frac{dX}{dt}=AX.</math>

若有初始條件<math>X_0</math>，可以計算不同時間下的數值。需要的初始資訊數量等於系統的維度''n''乘以系統階數''k''&nbsp;=&nbsp;1 of the system，其結果為''n''。初始條件不會影響系統的穩定性特性。

單一變數''x''的''k''<sup>th</sup>階微分方程如下：

:<math>\frac{d^{k}x}{dt^k}+a_{k-1}\frac{d^{k-1}x}{dt^{k-1}}+\cdots +a_1\frac{dx}{dt} +a_0x=0.</math>

需要的初始條件資訊數量為維度''n''&nbsp;=&nbsp;1乘以階數''k''，等於''k''。此例中的''k''個初始資訊不是變數''x''在不同時間下的值，而是在初始時間下的''x''數值，以及前''k''&nbsp;–&nbsp;1階微分的數值。初始條件不會影響系統特性，此系統的特徵方程式為<math>\lambda^k+a_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0,</math>，其解為特徵值<math>\lambda_1,\dots , \lambda_k;</math>，可以用在以下解的方程式中

:<math>x(t)=c_1e^{\lambda_1t}+\cdots + c_ke^{\lambda_kt}.</math>

其中的常數<math>c_1, \dots , c_k</math>可以以此方程來求解''k''個微分方程後，考慮初始條件的結果來求得。

==非線性系統==
[[非線性系統]]特性上的變化會比線性系統要多，因著初始條件的不同，系統可能會發散到無限大，也可能會收斂到系統的[[吸引子]]中。每個吸引子（是指一些狀態變數進入此區域後，就不會離開的區域）會有一個（可能不連續的）吸引區域（basin of attraction），若初始條件在此區域內，最後就會往吸引子前進。就算初始條件有少量變化，也有可能會由某一吸收子的吸引區域，進到另一吸收子的吸引區域，像[[牛顿法]]在一些情形下就有這類對初始條件很靈敏的特性。

若是有[[混沌理论]]的非線性系統，變數的變化會出現[[蝴蝶效应]]：同一個{{le|奇異吸引子|strange attractor}}內兩個很鄰近的點，在隨時間變化後，仍在奇異吸引子內，但兩點的軌跡會隨時間慢慢發散。因此在單一的奇異吸引子上，其初始條件的精確值會造成後續軌跡的顯著差異。因此很難進行準確的[[仿真]]，若要長時間的仿真更是不可能，因為很少有機會可以讓初始條件的數值完全精準，就算初始條件可以完全精準，在幾次迭代後就會出現捨入誤差。
==相關條目==
*[[边值问题]]
*[[初始向量]]，用在密碼學中

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:遞迴關係]]
[[Category:微分方程]]