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在[[数学分析]]中，'''初值定理'''是将时间趋于[[0|零]]时的[[頻域]]表达式与[[時域]]行为建立联系的定理<ref>{{Cite web |url=http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html |title=存档副本 |accessdate=2015-05-05 |archive-date=2017-12-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171226033147/http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html |dead-url=yes }}</ref>。

它简称为IVT。

令

: <math> F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt </math>

为 ''&fnof;''(''t'') 的（单边）[[拉普拉斯变换]]。初值定理表明<ref>Robert H. Cannon, ''Dynamics of Physical Systems'', [[Courier Dover Publications]], 2003, page 567.</ref>

: <math>\lim_{t\to 0}f(t)=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}. \, </math>

== 证明 ==
基于导数的拉普拉斯变换，我们有：
:<math>sF(s)=f(0^-)+\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt</math>
因此：
:<math>\lim_{s \to \infty} sF(s)=\lim_{s \to \infty} \left[f(0^-)+\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right]</math>
但在 t=0<sup>−</sup> 到 t=0<sup>+</sup> 之间，<math>\lim_{s \to \infty}e^{-st}</math> 是不确定的；为了避免这种情况，可以通过对两段区间分别积分求得：
:<math>\lim_{s \to \infty} \left[\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right]
=\lim_{s \to \infty}\left\{\lim_{\epsilon \to 0^+}\left[\int_{t=0^-}^{\epsilon}e^{-st}f^{'}(t)dt\right] + \lim_{\epsilon \to 0^+}\left[\int_{t=\epsilon}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}</math>
在第一个表达式中 0<sup>−</sup><t<0<sup>+</sup>, e<sup>−st</sup>=1。在第二个表达式中，可以交换积分和取极限的次序。同时在 0<sup>+</sup><t<∞ 时 <math>\lim_{s \to \infty}e^{-st}(t)</math> 为零。故：<ref name="Cannon2012">{{cite book|author=Robert H., Jr. Cannon|title=Dynamics of Physical Systems|url=http://books.google.com/books?id=u3VyPpz7SJcC&pg=PA568|date=4 May 2012|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-13969-2|pages=569|access-date=2015-05-05|archive-date=2014-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20140627160751/http://books.google.com/books?id=u3VyPpz7SJcC&pg=PA568|dead-url=no}}</ref>
:<math>\begin{align}
\lim_{s \to \infty} \left[\int_{t=0^-}^{\infty}e^{-st}f^{'}(t)dt\right] &=\lim_{s \to \infty}\left\{\lim_{\epsilon \to 0^+}\left[\int_{t=0^-}^{\epsilon}f^{'}(t)dt\right]\right\} + \lim_{\epsilon \to 0^+}\left\{\int_{t=\epsilon}^{\infty}\lim_{s \to \infty}\left[e^{-st}f^{'}(t)dt\right]\right\}\\
&=f(t)|_{t=0^-}^{t=0^+} + 0\\
&= f(0^+)-f(0^-)+0\\
\end{align}</math>
通过用这个结果在主方程中进行代换就得到：
:<math>\lim_{s \to \infty} sF(s)=f(0^-)+f(0^+)-f(0^-)=f(0^+)</math>

==参见==
* [[终值定理]]

==注释==
<references/>

[[Category:分析定理]]
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