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{{noteTA|G1=物理學}}
{{向量字體常規}}

[[File:Flight_dynamics_with_text.png|thumb|200px|right|刚体的空间位形决定于其[[质心]]位置与其[[定向 (幾何)|取向]]（最多有六个[[自由度]]）。<ref name=Sciavicco>
{{cite book |title=Modelling and control of robot manipulators |url=https://archive.org/details/roboticsmodellin00bsic |author=Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano |chapter=§2.4.2 Roll-pitch-yaw angles |page=[https://archive.org/details/roboticsmodellin00bsic/page/n53 32] |isbn=1852332212 |year=2000 |edition=2nd |publisher=Springer}}
</ref>]]

在[[物理学]]裏，理想'''刚体'''（{{lang-en|Rigid body或Rigid object}}）是一種有限尺寸，可以忽略[[形變|形变]]的[[固体]]。不论是否感受到[[作用力|外力]]，在刚体內部，[[質點]]與質點之间的[[距离]]都不会改变。这种理想模型适用条件是，运动过程比固体中的弹性波的传播要缓慢得多。根據[[相對論]]，這種物體不可能實際存在，但物體通常可以假定為完美剛體，前提是必須滿足運動速度遠小於[[光速]]的條件。

在[[经典力学]]裡，刚体通常被視為连续质量分佈体；在[[量子力学]]裏，刚体被視為一群粒子的聚集。例如，[[分子]]（由假定為[[質點]]的[[电子]]与[[核子]]组成）时常會被视为刚体。

==运动学==
===位置與取向===
剛體是由一群數量超多的質點組成。實際而言，不可能精確地追蹤其中每一個質點的運動。為了簡化運算，可以利用剛體的「剛性」，即其內部所有質點彼此之間距離不變的性質。假若物體具有剛性，則倚靠設定三個不共線質點的位置，就足以設定此物體的位置。這意味著，在三維空間裏，剛體至多只有九個[[自由度 (物理學)|自由度]]，但由於假定三個質點之間的距離固定不變，所以，剛體只有六個自由度。假設還有其它約束，例如，剛體的運動必需繞著其內部一點旋轉（定點轉動），或繞著其內部一直軸旋轉（定軸轉動），則自由度會小於六。

關於其它任意質點P的位置，只要知道質點P對於上述三個質點之中的任意一個質點的相對位置，就可以重建這質點的位置。通常，整個剛體的空間位形可以簡易地以參數設定：
#剛體的「位置」：挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，通常會設定物體的[[質心]]或[[形心]]為這一點。從空間參考系S觀測，點G的位置就是整個剛體在空間的位置。位置可以應用向量的概念來表示：向量的起點為參考系S的原點，終點為點G。設定剛體的位置需要三個坐標，例如，採用[[直角坐標系]]，這三個坐標為x-坐標、y-坐標、z-坐標。這用掉了三個自由度。
#剛體的[[取向]]：描述剛體取向的方法有好幾種，包括[[方向餘弦]]、[[歐拉角]]、[[四元數]]等等。這些方法設定一個附體參考系B的取向（相對於空間參考系S）。附體參考系是固定於剛體的參考系。相對於剛體，附體參考系的取向固定不變。由於剛體可能會呈加速度運動，所以附體參考系可能不是慣性參考系。空間參考系是某設定慣性參考系，例如，在觀測飛機的飛行運動時，附著於飛機場[[控制塔]]的參考系可以設定為空間參考系，而附著於飛機的參考系則可設定為附體參考系。剛體的[[取向]]需要用到另外三個自由度。

====方向餘弦====
[[File:Direction Cosine.svg|right|200px|thumb|單位向量<math>\hat{\mathbf{e}_i}</math>與參考系的三個單位向量<math>\hat{\mathbf{x}}_1</math>、<math>\hat{\mathbf{x}}_2</math>、<math>\hat{\mathbf{x}}_3</math>之間的夾角分別為<math>\theta_{i1}</math>、<math>\theta_{i2}</math>、<math>\theta_{i3}</math>。]]
[[方向餘弦]]方法可以用來設定附體參考系B的取向，即剛體的取向。假設沿著參考系S的坐標軸的三個單位向量分別為<math>\hat{\mathbf{x}}_1</math>、<math>\hat{\mathbf{x}}_2</math>、<math>\hat{\mathbf{x}}_3</math>，沿著參考系B的坐標軸的三個單位向量分別為<math>\hat{\mathbf{e}}_1</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_2</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_3</math>。定義<math>\hat{\mathbf{e}}_i</math>與<math>\hat{\mathbf{x}}_j</math>之間的方向餘弦<math>a_{ij}</math>為
:<math>a_{ij}\ \stackrel{def}{=}\ \cos{(\theta_{ij})}
=\hat{\mathbf{e}}_i\cdot\hat{\mathbf{x}}_j</math>；

其中，<math>\theta_{ij}</math>是<math>\hat{\mathbf{e}}_i</math>與<math>\hat{\mathbf{x}}_j</math>之間的夾角。

<math>\hat{\mathbf{e}}_1</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_2</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_3</math>與<math>\hat{\mathbf{x}}_1</math>、<math>\hat{\mathbf{x}}_2</math>、<math>\hat{\mathbf{x}}_3</math>之間的關係分別為
:<math>\hat{\mathbf{e}}_1=\cos{(\theta_{11})}\hat{\mathbf{x}}_1+\cos{(\theta_{12})}\hat{\mathbf{x}}_2+\cos{(\theta_{13})}\hat{\mathbf{x}}_3=a_{11}\hat{\mathbf{x}}_1+a_{12}\hat{\mathbf{x}}_2+a_{13}\hat{\mathbf{x}}_3</math>、
:<math>\hat{\mathbf{e}}_2=\cos{(\theta_{21})}\hat{\mathbf{x}}_1+\cos{(\theta_{22})}\hat{\mathbf{x}}_2+\cos{(\theta_{23})}\hat{\mathbf{x}}_3=a_{21}\hat{\mathbf{x}}_1+a_{22}\hat{\mathbf{x}}_2+a_{23}\hat{\mathbf{x}}_3</math>、
:<math>\hat{\mathbf{e}}_3=\cos{(\theta_{31})}\hat{\mathbf{x}}_1+\cos{(\theta_{32})}\hat{\mathbf{x}}_2+\cos{(\theta_{33})}\hat{\mathbf{x}}_3=a_{31}\hat{\mathbf{x}}_1+a_{32}\hat{\mathbf{x}}_2+a_{33}\hat{\mathbf{x}}_3</math>。

兩個參考系的坐標軸所形成的[[矩陣]]稱為「方向餘弦矩陣」<math>A</math>：
:<math>A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}</math>。

採用[[愛因斯坦求和約定]]，由於<math>\hat{\mathbf{e}}_i=a_{ij}\hat{\mathbf{x}}_j</math>，給定方向餘弦矩陣<math>A</math>，則可設定附體參考系B的取向，也就是剛體的取向。

反過來，經過一番運算，可以得到<math>\hat{\mathbf{x}}_j=a_{ij}\hat{\mathbf{e}}_i</math>。

給定位置向量<math>\mathbf{r}</math>
:<math>\mathbf{r}=x_1\hat{\mathbf{x}}_1+x_2\hat{\mathbf{x}}_2+x_3\hat{\mathbf{x}}_3=e_1\hat{\mathbf{e}}_1+e_2\hat{\mathbf{e}}_2+e_3\hat{\mathbf{e}}_3</math>，

則<math>\mathbf{r}</math>與<math>\hat{\mathbf{e}}_i</math>的[[內積]]為
:<math>\mathbf{r} \cdot \hat{\mathbf{e}}_i=e_i =a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3=a_{ij}x_j</math>。

方向餘弦矩陣<math>A</math>可以將從空間參考系S觀測的位置坐標<math>(x_1,x_2,x_3)</math>，變換為從附體參考系B觀測的位置坐標<math>(e_1,e_2,e_3)</math>，因此又稱為「變換矩陣」。

變換矩陣<math>A</math>也可以做反變換如下：
:<math>x_j=a_{ij}e_i</math>。

變換矩陣<math>A</math>是一種[[正交矩陣]]，滿足「正交條件」
:<math>a_{ij}a_{ik}=\delta_{jk}</math>；

其中，<math>\delta_{jk}</math>是[[克羅內克函數]]。

注意到<math>\theta_{ij}</math>與<math>\theta_{ji}</math>不同，夾角<math>\theta_{ji}</math>是<math>\hat{\mathbf{e}}_j</math>與空間參考系S的坐標軸單位向量<math>\hat{\mathbf{x}}_i</math>之間的夾角。變換矩陣<math>A</math>通常不是[[對稱矩陣]]。

[[File:PassiveActive.JPG|right|250px|thumb|左圖顯示「主動變換」：參考軸固定不動，點P被旋轉<math>-\theta</math>角弧成為點P'。右圖顯示「被動變換」：參考軸被旋轉<math>\theta</math>角弧，而點P固定不動。]]
對於[[旋转矩阵#二维空间|二維旋轉]]，變換矩陣<math>A</math>可以視為[[旋轉矩陣]]。例如，將附體參考系B或剛體旋轉，從<math>\hat{\mathbf{e}}_1</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_2</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_3</math>旋轉<math>\theta</math>角弧成為<math>\hat{\mathbf{e}}'_1</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}'_2</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}'_3</math>；其中，<math>\hat{\mathbf{e}}_3=\hat{\mathbf{e}}'_3</math>。對於這旋轉，旋轉矩陣<math>A</math>為
:<math>A= \begin{bmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} & 0 \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>。

參考軸<math>\hat{\mathbf{e}}'_i</math>與<math>\hat{\mathbf{e}}_j</math>之間的關係為
:<math>\hat{\mathbf{e}}'_i=a_{ij}\hat{\mathbf{e}}_j</math>。

旋轉矩陣<math>A</math>也可以視為將點P的位置向量<math>\mathbf{r}=x_i\hat{\mathbf{x}}_i</math>旋轉<math>-\theta</math>角弧成為點P'的位置向量<math>\mathbf{r}'=x'_i\hat{\mathbf{x}}_i</math>：
:<math>x'_i=a_{ij}x_j</math>。

====歐拉角====
[[File:Eulerangles.svg|right|thumb|250px|按照順序使用最多三個歐拉角 (<math>\alpha,\ \beta,\ \gamma</math>)，可以從xyz-軸變換到XYZ-軸。交點線（N）是以綠色表示。]]
{{主條目|歐拉角}}
方向餘弦矩陣<math>A</math>足以設定附體參考系B的取向。但是，矩陣<math>A</math>有九個元素，而剛體只能供給三個自由度來設定取向，因為這九個元素不是[[自變量|{{tooltip|自變量|independent variable}}]]。歐拉角的三個自變量可以用來設定剛體的取向。

相對於空間參考系S，附體參考系B的取向，可以用三個歐拉角來設定。參閱右圖。設定xyz-軸為空間參考系S的坐標軸，XYZ-軸為附體參考系B的坐標軸。稱xy-平面與XY-平面的相交為「交點線」，用英文字母（N）代表。按照「zxz順規」，歐拉角可以這樣定義：
*<math>\alpha</math>是x-軸與交點線（N）之間的夾角，
*<math>\beta</math>是z-軸與Z-軸之間的夾角，
*<math>\gamma</math>是交點線（N）與X-軸之間的夾角。

每一個歐拉角的旋轉都對應於一個簡單的旋轉矩陣：
:<math>A_{\alpha}= \begin{bmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math><span style="vertical-align:bottom">、</span>
:<math>A_{\beta}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \beta & \sin \beta \\
0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}</math><span style="vertical-align:bottom">、</span>
:<math>A_{\gamma}= \begin{bmatrix}
\cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\
-\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

設定剛體取向的旋轉矩陣<math>A</math>是由三個簡單旋轉矩陣<math>A_{\alpha}</math>、<math>A_{\beta}</math>、<math>A_{\gamma}</math>共同合成：
:<math>A=A_{\gamma}A_{\beta}A_{\alpha}</math>。

單獨分開工作，每個矩陣各自代表一種旋轉。按照順序相乘，
* 最裏面的（最右的）矩陣代表繞著z軸的旋轉。
* 最外面的（最左的）矩陣代表繞著Z軸的旋轉。
* 在中間的矩陣代表繞著交點線的旋轉。

經過一番運算，可以得到<math>A</math>矩陣：<ref name=Heinbockel2001>{{Citation | last = Heinbockel | first = J. H. | title = Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics | publisher = Trafford Publishing | year = 2001 | pages = pp. 200-201 | url = http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html | isbn = 978-1553691334 | access-date = 2011-11-14 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200106103811/http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html | archive-date = 2020-01-06 | dead-url = yes }}</ref>

:<math>A= \begin{bmatrix}
\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma   & \sin\beta\sin\gamma
\\-\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & \sin\beta\cos\gamma
\\ \sin\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha & \cos\beta
\end{bmatrix}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

<math>A</math>的[[逆矩陣]]是：
:<math>A^{-1}= \begin{bmatrix}
\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & -\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma   &   \sin\beta\sin\alpha
\\ \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & -\sin\beta\cos\alpha
\\ \sin\beta\sin\gamma & \sin\beta\cos\gamma  & \cos\beta
\end{bmatrix}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

====歐拉旋轉定理====
[[歐拉旋轉定理]]表明，在三維空間裏，假設約束剛體內部一點固定不動，則其任意位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉，而這固定軸必包含這固定點。換句話說，設定附體參考系B的原點為這固定點，則附體參考系B不會因為這位移而涉及任何平移運動，再設定附體參考系B的z-軸與固定軸同軸，則這位移對應於繞著附體參考系B的z-軸旋轉<math>\gamma</math>角弧，而z-軸的方向是由<math>\alpha</math>與<math>\beta</math>角弧給出。<ref name=Whittaker_1917>{{cite book|last=Whittaker|first=Edmund |title=A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; with an introduction to the problem of three bodies |publisher=Cambridge University Press|pages=2-5|date=1917|url= http://www.archive.org/details/cu31924001080294}}</ref>

對於內部有一點被約束固定不動的剛體（或原點固定不動的參考系），歐拉旋轉定理將其任意位移等價為繞著某固定軸的一個旋轉。這允許使用旋轉來表達取向的改變。因此，變換矩陣<math>A</math>可以視為[[旋转矩阵#三维空间|三維旋轉]]的[[旋轉矩陣]]，將附體參考系B或剛體做任意環繞著固定點的旋轉，從<math>\hat{\mathbf{e}}_1</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_2</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_3</math>旋轉成為<math>\hat{\mathbf{e}}'_1</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}'_2</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}'_3</math>。參考軸<math>\hat{\mathbf{e}}'_i</math>與<math>\hat{\mathbf{e}}_j</math>之間的關係為
:<math>\hat{\mathbf{e}}'_i=a_{ij}\hat{\mathbf{e}}_j</math>。

====沙勒定理====
[[File:Ferris wheel of Taipei Children's Recreation Center.jpg|right|thumb|250px|掛在重力式摩天輪邊緣的乘客座艙在做平移運動。]]
[[File:Translation of Itokawa.svg|right|thumb|200px|剛體平移運動示意圖。]]
當剛體移動時，它的位置與取向都可能會隨著時間演進而改變。[[沙勒定理|{{tooltip|沙勒定理|Chasles' theorem}}]]是歐拉旋轉定理的一個[[推論]]。根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。<ref name=Whittaker_1917/>因此，剛體運動可分為平移運動與旋轉運動。剛體的現在位置與現在取向可以視為是從某個初始位置與初始取向經過平移與旋轉而成。

如右圖所示，從時間<math>t_1</math>到時間<math>t_2</math>，當剛體在做平移運動時，任意內部兩點，點P與點Q的軌跡（以黑色實線表示）相互平行，線段<math>\overline{PQ}</math>（以黑色虛線表示）的方向保持恆定。

挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於點G（稱為「基點」），則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置<math>\mathbf{r}_P</math>為
:<math>\mathbf{r}_P=\mathbf{r}_{G}+\mathbf{r}_{P/G}</math>；

其中，<math>\mathbf{r}_{G}</math>、<math>\mathbf{r}_{P/G}</math>分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。

從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，但從空間參考系S觀測，剛體從時間<math>t_1</math>到時間<math>t_2</math>的運動，可以分為基點G從<math>\mathbf{r}_{G}(t_1)</math>到<math>\mathbf{r}_{G}(t_2)</math>的平移運動，與位移<math>\mathbf{r}_{P/G}</math>從時間<math>t_1</math>到時間<math>t_2</math>的旋轉運動。

===平移速度與角速度===
從不同的參考系觀測剛體運動，可能會獲得不同的平移速度和不同的角速度。為了確保測量結果具有實際物理意義，必需先給定參考系。

剛體的平移速度是向量，是其位置向量的時間變化率，是附著於剛體的基點G的速度。對於純平移運動（沒有任何旋轉運動），剛體內部所有點的移動速度相同。假設涉及旋轉運動，則通常剛體內部任意兩點的瞬時速度不相等；只有當它們恰巧處於同一直軸，而這直軸平行於[[轉動瞬軸|{{tooltip|轉動瞬軸|instantaneous axis of rotation}}]]，則它們的瞬時速度相等。

角速度也是向量，描述剛體取向改變的角速率，和剛體旋轉時的瞬時轉軸的方向（[[歐拉旋轉定理]]保證瞬時轉軸的存在）。在任意時間，剛體內部每一個質點的角速度相同。

====向量的時間變化率====
假設一剛體呈純旋轉運動，其附體參考系B也會跟著旋轉，因此，對於任意向量<math>\mathbf{F}</math>，從這附體參考系B與從空間參考系S觀測，會得到不同的結果。假設附體參考系B <math>(\hat{\mathbf{e}}_1,\hat{\mathbf{e}}_2,\hat{\mathbf{e}}_3)</math>與空間參考系S <math>(\hat{\mathbf{x}}_1,\hat{\mathbf{x}}_2,\hat{\mathbf{x}}_3)</math>同原點。對於這些參考系，三維含時向量<math>\mathbf{F}(t)</math>分解為
:<math>\mathbf{F}=f_i\hat{\mathbf{x}}_i=F_i\hat{\mathbf{e}}_i</math>。

<math>\mathbf{F}(t)</math>對於時間的導數為
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}f_i}{\mathrm{d}t}\hat{\mathbf{x}}_i=\frac{\mathrm{d}F_i}{\mathrm{d}t}\hat{\mathbf{e}}_i+F_i\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_i}{\mathrm{d}t}</math>。

單獨計算附體參考軸對於時間的導數：
:<math>\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_i}{\mathrm{d}t}
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(a_{ij}\hat{\mathbf{x}}_j)
=\dot{a}_{ij}\hat{\mathbf{x}}_j
=\dot{a}_{ij}a_{kj}\hat{\mathbf{e}}_k</math>；

其中，<math>\dot{a}_{ij}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}a_{ij}}{\mathrm{d}t}</math>是方向餘弦對於時間的導數。

由於<math>\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_i}{\mathrm{d}t}</math>垂直於<math>\hat{\mathbf{e}}_i</math>，<math>\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_i}{\mathrm{d}t}</math>只能是其他兩個單位向量的[[線性組合]]：
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\hat{\mathbf{e}}_i=-\epsilon_{ij\ell}\omega_{ij}\hat{\mathbf{e}}_{\ell}</math>；

其中，<math>\epsilon_{ij\ell}</math>是[[列維-奇維塔符號]]，<math>\omega_{ij}</math>是係數。

對於任意<math>\hat{\mathbf{e}}_{m}\ne \hat{\mathbf{e}}_i</math> ,
單位向量<math>\hat{\mathbf{e}}_i</math>與<math>\hat{\mathbf{e}}_{m}</math>的內積對於時間的導數為
:<math>\begin{align}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{\mathbf{e}}_{i}\cdot\hat{\mathbf{e}}_{m}) & = \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\hat{\mathbf{e}}_{i}\right) \cdot\hat{\mathbf{e}}_{m}
+\hat{\mathbf{e}}_{i}\cdot\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\hat{\mathbf{e}}_{m}\right) \\
 & =-\epsilon_{ij\ell}\omega_{ij}\hat{\mathbf{e}}_{\ell} \cdot\hat{\mathbf{e}}_{m}
-\hat{\mathbf{e}}_{i} \cdot\epsilon_{mj\ell}\omega_{mj}\hat{\mathbf{e}}_{\ell} \\
 & =-\epsilon_{ijm}\omega_{ij}-\epsilon_{mji}\omega_{mj} \\
 & =-\epsilon_{ijm}(\omega_{ij}-\omega_{mj}) \\
 & =0 \\
\end{align}</math>

所以，<math>\omega_{ij}</math>的下標<math>i</math>多餘無用，可以刪除，變為<math>\omega_{j}</math>：
:<math>\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_i}{\mathrm{d}t}=-\epsilon_{ij\ell}\omega_{j}\hat{\mathbf{e}}_{\ell} </math>。

思考<math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}</math>方程式最右邊項目<math>F_i\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_i}{\mathrm{d}t}</math>，對換傀標<math>i</math>  <math>\ell</math>，可以得到
:<math>F_i\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_i}{\mathrm{d}t}
=-\epsilon_{ij\ell}F_i\omega_{j}\hat{\mathbf{e}}_{\ell}
=\epsilon_{ij\ell}\hat{\mathbf{e}}_{i}\omega_{j}F_{\ell}
=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}</math>。

向量<math>\boldsymbol{\omega}</math>是由三個係數<math>\omega_1</math>、<math>\omega_2</math>、<math>\omega_3</math>組成，對應於附體參考系的三個參考軸<math>\hat{\mathbf{e}}_1</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_2</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_3</math>，係數數值可以從歐拉角計算求得：
:<math>\omega_1=\dot{a}_{2j}a_{3j}
=\dot{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}+\dot{\beta}\cos{\gamma}</math>、
:<math>\omega_2=-\dot{a}_{1j}a_{3j}
=\dot{\alpha}\sin{\beta}\cos{\gamma}+\dot{\beta}\sin{\gamma}</math>、
:<math>\omega_3=\dot{a}_{1j}a_{2j}=\dot{\alpha}\cos{\beta}+\dot{\gamma}</math>。

試想對應於歐拉角<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>、<math>\gamma</math>的三個旋轉軸分別為<math>\hat{\mathbf{z}}</math>、<math>\hat{\mathbf{N}}</math>、<math>\hat{\mathbf{Z}}</math>，三個角速度分別為
:<math>\boldsymbol{\omega}_{\alpha}=\dot{\alpha}\hat{\mathbf{z}}
=\dot{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}\hat{\mathbf{X}}+\dot{\alpha}\sin{\beta}\cos{\gamma}\hat{\mathbf{Y}}+\dot{\alpha}\cos{\beta}\hat{\mathbf{Z}}
</math>、
:<math>\boldsymbol{\omega}_{\beta}=\dot{\beta}\hat{\mathbf{N}}
=\dot{\beta}\cos{\gamma}\hat{\mathbf{X}}-\dot{\beta}\sin{\gamma}\hat{\mathbf{Y}}
</math>、
:<math>\boldsymbol{\omega}_{\gamma}=\dot{\gamma}\hat{\mathbf{Z}}</math>。

這三個角速度的向量和，對於附體參考系B的分量分別為
:<math>\omega_X=\dot{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}+\dot{\beta}\cos{\gamma}=\omega_1</math>、
:<math>\omega_Y=\dot{\alpha}\sin{\beta}\cos{\gamma}+\dot{\beta}\sin{\gamma}=\omega_2</math>、
:<math>\omega_Z=\dot{\alpha}\cos{\beta}+\dot{\gamma}=\omega_3</math>。

注意到附體參考系B的<math>\hat{\mathbf{e}}_1</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_2</math>、<math>\hat{\mathbf{e}}_3</math>就是歐拉角的<math>\hat{\mathbf{X}}</math>、<math>\hat{\mathbf{Y}}</math>、<math>\hat{\mathbf{Z}}</math>，所以，向量<math>\boldsymbol{\omega}</math>是附體參考系B旋轉的角速度。

總結，向量<math>\mathbf{F}(t)</math>對於時間的導數為
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}f_i}{\mathrm{d}t}\hat{\mathbf{x}}_i=\frac{\mathrm{d}F_i}{\mathrm{d}t}\hat{\mathbf{e}}_i+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}</math>。

設定<math>\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}</math>、<math>\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}</math>分別為從空間參考系S、附體參考系B觀測到的向量<math>\mathbf{F}(t)</math>對於時間的導數，上述方程式可以表達為
:<math>\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}</math>。

項目  <math>\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}</math>可以想像為，從空間參考系S觀測，剛體內部位置向量為<math>\mathbf{F}</math>的質點，由於剛體旋轉而產生的速度。

向量<math>\mathbf{F}(t)</math>是任意向量，因此可以將<math>\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}</math>、<math>\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}</math>當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：
:<math>\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol{\omega}\times</math>。

這算符方程式可以作用於任意含時向量。

===運動學方程式===
根據[[#沙勒定理|沙勒定理]]，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。<ref name=Whittaker_1917/>挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於基點G，則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置<math>\mathbf{r}_P</math>為
:<math>\mathbf{r}_P=\mathbf{r}_{G}+\mathbf{r}_{P/G}</math>；

其中，<math>\mathbf{r}_{G}</math>、<math>\mathbf{r}_{P/G}</math>分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。

點P的速度<math>\mathbf{v}_P=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_P}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}</math>為
:<math>\mathbf{v}_P=\mathbf{v}_{G}+\mathbf{v}_{P/G}</math>；

其中，<math>\mathbf{v}_{G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_G}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}</math>、<math>\mathbf{v}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{P/G}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}</math>分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。

應用前段推導出的適用於任意含時向量的算符方程式，可以計算出<math>\mathbf{v}_{P/G}</math>。由於從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，項目<math>\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{P/G}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}</math>等於零：
:<math>\mathbf{v}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{P/G}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G}</math>；

其中，<math>\boldsymbol{\omega}</math>是剛體的角速度向量。

所以，點P的速度為
:<math>\mathbf{v}_P=\mathbf{v}_{G}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G}</math>。

點P的加速度<math>\mathbf{a}_P=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_P}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}</math>為
:<math>\mathbf{a}_P=\mathbf{a}_{G}+\mathbf{a}_{P/G}</math>；

其中，<math>\mathbf{a}_{G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_G}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}</math>、<math>\mathbf{a}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_{P/G}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}</math>分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。

再應用前段推導出的算符方程式，可以計算出
:<math>\mathbf{a}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}\times\mathbf{r}_{P/G}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_{P/G}
=\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{P/G}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G})</math>；

其中，<math>\boldsymbol{\alpha}=\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}</math>是附體參考系B旋轉的角加速度向量。

==動力學==
:主项目：[[刚体动力学]]

當描述刚体的动力运动時，必需先處理妥善剛體的平移运动，即先選擇一個参考点來代表剛體與其附體參考系B。刚体内部任意一点都可以被選为参考点（附體參考系B的原点）。但是，根据实际應用需要，比較适当的选择為：
*刚体的[[质心]]：對於自由移動於空間的剛體，以其質心為參考點的方法通常會給出最簡單的運動。
*平移运动為零或可以简易研算的点：例如，在[[轴]]或[[铰链]]上、在[[万向接头]]的中心等等。

当质心被选为参考点时：
*刚体的[[动量]]与其[[旋转运动]]无关。在任何时间，[[动量]]等于刚体的总质量乘以平移速度。
*不论刚体的平移运动为何，对于质心的[[角动量]]皆等同。所以，在计算角动量时，可以忽略平移运动。在任何时间，角动量等于[[轉動慣量#慣性張量|惯性张量]]乘以角速度。假若知道刚体绕[[轉動慣量#主轉動慣量|主轴]]的角速度，那麼，角动量对于每一主轴的分量，是对应的[[轉動慣量#主轉動慣量|主慣性矩]]乘以对应的角速度；[[力矩]]是转动惯量乘以角加速度。
*在无外力作用下，可能形成的运动为[[平移运动#直线运动#等速直线运动|等速直线运动]]、稳定[[绕定轴转动|{{tooltip|绕定轴转动|rotation about a fixed axis}}]]、零力矩[[进动]]等等。
*作用于刚体的净外力，等于总质量乘以刚体平移运动的加速度（也就是说，不论净外力矩是否为零，或这刚体是否在作旋转运动，[[牛頓第二運動定律]]可以正确地应用于刚体平移运动，）。
*总[[动能]]是[[动能|平移动能]]与[[旋转动能]]的总和。

==刚体的转动==
*刚体的转动定律：<math>M=I\alpha</math>，其中<math>M</math>为刚体所受合外力的力矩，<math>I</math>为刚体转动惯量，<math>\alpha</math>为刚体角加速度。
*刚体的转动[[动能定理]]：<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2} M\, d\theta=\frac{1}{2}I\omega_2^2-\frac{1}{2}I\omega_1^2</math>，其中<math>\int_{\theta_1}^{\theta_2} M\, d\theta</math>表示合外力的力矩<math>M</math>在角位移<math>\theta_2-\theta_1</math>上所作的功，<math>I</math>为刚体的转动惯量，<math>\omega</math>为刚体角速度。
*刚体的转动和平动可以合成为刚体的平面运动，由[[柯尼希定理]]，其动能为<math>E_k=\frac{1}{2}mV_c^2+\frac{1}{2}I\omega^2</math>，其中<math>V_c</math>为刚体质心对参考系的速度。

==参阅==
*[[反對稱矩陣#无穷小旋转|無窮小旋轉]]
*[[歐拉方程 (剛體運動)|歐拉运动方程式]]
*[[歐拉運動定律]]
*[[剛體動力學|{{tooltip|剛體動力學|rigid body dynamics}}]]
*[[玻恩刚性|{{tooltip|玻恩刚性|Born rigidity}}]]
*[[刚性转子|{{tooltip|刚性转子|rigid rotor}}]]
*[[平面刚体运动|平面剛體運動]]

==參考文獻==
{{Reflist|2}}
*J.L. Meriam, L.G. Kraige, "Engineering Mechanics: Dynamics,"第三版，ISBN 978-0-471-59273-0。

==外部連結==
*[[噴氣推進實驗室]]DARTS網頁：[https://web.archive.org/web/20111015043646/http://dshell.jpl.nasa.gov/SOA/index.php 空間算符代數]

{{DEFAULTSORT:G}}
{{經典力學}}
[[Category:剛體| ]]
[[Category:刚体力学]]
[[Category:旋轉對稱]]