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如果一个[[实数]]<math>x</math>满足，对任意正[[整数]]<math>n</math>，存在整数<math>p, q</math>，其中<math>q > 1</math>有

:<math> 0 < \left| x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}} </math>

就把<math>x</math>叫做'''刘维尔数'''。

法国数学家[[刘维尔]]在1844年证明了所有刘维尔数都是[[超越数]]<ref>{{Cite journal |last=Liouville |first=Joseph |title=Mémoires et communications |url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/propos-de-l-existence-des-nombres-transcendants |journal=Comptes rendus de l'Académie des Sciences |access-date=2023-01-02 |archive-date=2023-02-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230221124517/http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/propos-de-l-existence-des-nombres-transcendants |dead-url=no }}</ref>，第一次说明了超越数的存在。

== 基本性质 ==
容易证明，刘维尔数一定是[[无理数]]。若不然，则<math>x = \frac{c}{d}, (c, d \in \mathbb{Z}, d > 0)</math>。
取足够大的<math>n</math>使<math>{2^{n-1}} > d</math>，在<math> \frac{c}{d} \ne \frac{p}{q} </math>时有

:<math> \left| x - \frac{p}{q}  \right| = \left| \frac{c}{d} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{cq-dp}{dq} \right| \ge \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n} </math>

与定义矛盾。

== 刘维尔常数 ==
即

:<math>
c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots
</math>

这是一个刘维尔数。取

:<math> p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!}, \quad q_n = 10^{n!}</math>

那么对于所有正整数<math>n</math>

:<math>\left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + {} \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q_n}^n}.</math>

== 超越性 ==
所有刘维尔数都是超越数，但反过来并不对。例如，著名的[[e (数学常数)|e]]和[[圆周率|<math>\pi</math>]]就不是刘维尔数。实际上，有[[不可数集|不可数多]]的超越数都不是刘维尔数。

=== 证明 ===
'''刘维尔定理'''：若无理数<math> \alpha </math>是[[代数数]]，即整系数<math>n</math>次[[多项式]]<math>f</math>的根，那么存在实数<math>A > 0</math>，对于所有<math> p, q \in \mathbb{Z}, q > 0 </math>有

: <math>  \left\vert \alpha - \frac{p}{q}  \right\vert > \frac{A}{q^n} </math>

'''证明'''：令<math> M = \max \left\{ \left|f'(x)\right| | x \in \left[ \alpha - 1, \alpha + 1 \right] \right\} </math>，记<math>f</math>的其它的不重复的根为
<math>\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m</math>，取这样的A

: <math> 0 < A < \min \left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right)  </math>

如果存在使定理不成立的<math>p, q</math>，就有

: <math>  \left\vert \alpha - \frac{p}{q}  \right\vert \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right) </math>

那么，<math> \frac{p}{q} \in \left[ \alpha - 1, \alpha + 1 \right] \land \frac{p}{q} \notin \left\{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m \right\} </math>

据[[拉格朗日中值定理]]，存在<math>\alpha</math>和<math>\frac{p}{q}</math>之间的<math>x_0</math>使得

: <math>f(\alpha)-f(p/q) = (\alpha - p/q) \cdot f'(x_0)</math>

有

: <math>\left\vert (\alpha -p/q)\right\vert = \left\vert f(\alpha)- f(p/q)\right\vert / \left\vert f'(x_0) \right\vert = \left\vert f(p/q) /  f'(x_0) \right\vert \,</math>

<math>f</math>是多项式，所以

: <math>\left\vert f(p/q) \right\vert = \left\vert \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right\vert = \frac{\left\vert \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right\vert}{q^n} \ge \frac {1}{q^n} </math>

由于<math> \left| f'(x_0) \right| \le M </math>和<math> 1/M > A </math>

: <math>\left\vert \alpha - p/q \right\vert = \left\vert f(p/q) /  f'(x_0) \right\vert \ge 1/(Mq^n) > A/q^n \ge \left\vert \alpha - p/q \right\vert </math>

矛盾。

'''证明刘维尔数是超越数'''：有刘维尔数<math>x</math>，它是无理数，如果它是代数数则

:<math> \exists n \in \mathbb Z, A > 0 \forall p, q \left( \left\vert x - \frac{p}{q}  \right\vert > \frac{A}{q^{n}} \right) </math>

取满足<math> \frac{1}{2^r} \le A </math>的正整数<math>r</math>，并令<math> m = r + n </math>，存在整数<math> a, b </math>其中 <math>b > 1 </math>有

: <math>\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n} </math>

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

== 参考文献 ==
<references />

== 参见 ==
* [[丢番图逼近]]

== 外部链接 ==
* [http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes5.pdf The Beginning of Transcendental Numbers] {{Wayback|url=http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes5.pdf |date=20120716205338 }}

{{無理數導航}}

[[Category:丢番图逼近]]
[[Category:數學常數]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:实数超越数]]
[[Category:無理數]]