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{{Distinguish|刘维尔定理 (哈密顿力学)|刘维尔定理 (微分代数)}}

'''刘维尔定理'''是[[数学]]中[[复分析]]的一个定理，由十九世纪法国数学家[[约瑟夫·刘维尔]]最先证明。刘维尔定理对[[整函数]]（即在整个[[复数 (数学)|复数]][[数域|域]]<math>\mathbb{C}</math>上都是[[全纯函数]]）的[[值域]]进行了刻画。它表明，任何[[有界函数|有界]]的[[整函数]]都一定是常数。

比刘维尔定理更进一步的是[[皮卡定理]]。後者说明，只要存在两个相异的复数，它们都'''不属于'''一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。

==简介==
整函数是指从复数域<math>\mathbb{C}</math>射到复数域，并且在整个复数域上都是[[全纯函数]]的函数。全纯也称为复可微，是复函数的重要性质。某个函数]<math>f : \; \; \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>在某点<math>z_0</math>全纯，指在点<math>z_0</math>以及其[[邻域]]上有定义，并且以下[[函数极限|极限]]：
:<math>\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </math>
存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然[[光滑函数|无穷可微]]，是[[解析函数]]。

刘维尔定理说明，任何一个[[整函数]]<math>f : \; \; \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>，如果存在一个正数<math>M</math>，使得对于所有的[[复数 (数学)|复数]]<math>z</math>，<math>f(z)</math>的[[模长]]都小于等于<math>M</math>：
:<math>z \in \mathbb{C}, \; \; | f(z) | \leqslant M ,</math>
则该函数必定是常数函数。

==证明==
证明用到了整函数和[[解析函数]]的关系。整函数必然是解析函数，设有整函数<math>f : \; \; \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>，考虑它关于<math>z_0 = 0</math>的[[泰勒级数|解析展开]]：
: <math>f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k</math>

其中的[[系数]]<math>a_k</math>可以根据[[柯西积分公式]]求得：

:<math>
a_k = \frac{f^{(k)}}{k!} = {1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r} {f( \zeta )\over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta
</math>

其中<math>C_r = \{ z : \; |z| = r \}</math>是以0为[[圆心]]，[[半径]]为<math>r > 0</math>的[[圆]]。依照函数<math>f</math>有界的条件，可以估计[[系数]]<math>a_k</math>模长的上界：
:<math>| a_k  | 
\leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r}    \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta^{k+1}  |} | \,d\zeta |
\leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r}    \frac{ M }{ r^{k+1}  } | \,d\zeta |
\leq \frac{M}{r^k},
</math>

在以上的估计中，[[曲线积分]]为<math>C_r</math>，其中半径<math>r</math>的选择是任意的。当<math>r</math>趋于无穷大时，<math>\frac{M}{r^k}</math>趋于0. 因此，让<math>r</math>趋于[[无穷大]]，便可以推出：对所有的''k'' &ge; 1，都有''a''<sub>''k''</sub> = 0。这说明，

: <math>f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = a_0</math>
即是说<math>f</math>是常数函数。定理得证。

==应用与推论==
===代数基本定理===
{{main|代数基本定理#证明二}}

===整函数的大小关系===
应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数<math>f</math>总比另一个整函数<math>g</math>小：<math>|f| \leqslant |g|</math>，那么这两个整函数成比例关系：<math>\forall z\in \mathbb{C}, \; f(z) = \kappa \cdot g(z)</math>，其中<math>\kappa</math>是比例常数。

考虑函数<math>h : \; \; z \; \mapsto \begin{cases} \frac{f(z)}{g(z)} & g(z) \neq 0, \\ 0 & g(z) = 0. \end{cases}</math>

<math>|f| \leqslant |g|</math>说明，函数<math>h</math>的模长总小于等于1。另一方面，由于<math>|f| \leqslant |g|</math>，所以<math>\frac{f(z)}{g(z)}</math>的[[奇点_(数学)|奇点]]都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数<math>h</math>。所以<math>h</math>作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明<math>f</math>和<math>g</math>成比例关系。

===次线性整函数===
次线性函数，指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数<math>f</math>满足：
:<math>\forall z \in \mathbb{C}, \; \; | f(z) | \leqslant M |z|.</math>
其中<math>M</math>是一个常数系数。考虑<math>f</math>的[[导函数]]。根据[[柯西积分公式]]，
:<math>|f'(z)|=\frac{1}{2\pi}\left|\oint_{C_r }\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\mathrm{d}\zeta\right|\leq  \frac{1}{2\pi} \oint_{C_r} \frac{\left| f(\zeta) \right|}{\left| (\zeta-z)^2\right|} \left|\mathrm{d}\zeta\right|\leq \frac{1}{2\pi} \oint_{C_r} \frac{M\left| \zeta \right|}{\left| (\zeta-z)^2\right|} \left|\mathrm{d}\zeta\right|=\frac{MI_r^z}{2\pi}</math>
其中<math>C_r = \{ \zeta ; \; | \zeta - z | = r\} = \{ z + r\cdot e^{it} ; \; t \in [ 0, 2\pi ]\}</math>是以<math>z</math>为圆心，半径为<math>r</math>的圆；
:<math>I_r^z = \oint_{C_r} \frac{\left| \zeta \right|}{\left| (\zeta-z)^2\right|} \left|\mathrm{d}\zeta\right| = \int_0^{2\pi} \frac{\left| z + r\cdot e^{it} \right|}{r} \mathrm{d}t</math>
取<math>r=|z|</math>，则<math>\left| z + r\cdot e^{it} \right| \leqslant |z|+ r = 2r.</math> 所以<math>I_r^z \leqslant \int_0^{2\pi} 2 \mathrm{d}t = 4\pi</math>，因此
:<math>|f'(z)| \leqslant 2M.</math>
因此依据刘维尔定理，<math>f'</math>是常数函数。另一方面，<math>| f(0) | \leqslant M |0|</math>，所以<math>f(0)=0.</math> 综上可知，次线性整函数<math>f</math>是线性函数。

===皮卡小定理===
刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的[[皮卡定理|皮卡小定理]]。

==参考文献==
*Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996. 
*Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999. 

==外部链接==
* {{MathWorld | urlname= LiouvillesBoundednessTheorem | title= Liouville’s Boundedness Theorem}}
* [https://web.archive.org/web/20061209233645/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/LiouvilleMoreraGaussMod.html 刘维尔定理的教程]

[[Category:复分析定理]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:解析函数|holomorphic functions]]