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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{Distinguish|刘维尔定理 (复分析)|刘维尔定理 (微分代数)}}
[[File:Joseph liouville.jpeg|thumb|200px|约瑟夫·刘维尔]]
在[[物理学]]中，'''刘维尔定理'''（{{lang|en|Liouville's theorem}}）是经典[[统计力学]]与[[哈密顿力学]]中的关键定理。该定理断言[[相空间]]的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。换一种表述，就是共轭相空间里，一个哈密顿系统的相体积不可压缩。

它以[[法国]]数学家[[约瑟夫·刘维尔]]命名。这也是[[辛拓扑]]与[[遍历论]]中的有关数学结果。

== 刘维尔方程 ==
刘维尔方程描述了相空间[[分布函数]]（尽管数学中准确术语是[[测度]]，物理学家一般称为分布）的时间演变。考虑一个[[动力系统]]具有[[正则坐标]] <math>q_i</math> 与[[共轭动量]] <math>p_i</math>，这里<math>i=1,\dots,d</math>。则相空间分布 <math>\rho(p,q)</math> 确定了系统在无穷小相空间体积 <math>d^dq\,d^dp</math> 中出现的概率 <math>\rho(p,q)\,d^dq\,d^dp</math>。'''刘维尔方程'''（{{lang|en|Liouville equation}}）决定了 <math>\rho(p,q;t)</math> 关于时间 <math>t</math> 的演化：

:<math>\frac{d\rho}{dt}=
\frac{\partial\rho}{\partial t}
+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q^i}\dot{q}^i
+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.\,</math>

时间导数用点标记，根据这个系统的[[哈密顿方程]]求值。这个方程说明了相空间中密度的守恒性（该定理得名于[[约西亚·吉布斯]]）。刘维尔定理断言

:分布函数沿着相空间的任何轨迹是常数。

这个定理的一个简单证明是观察到 <math>\rho</math> 的演化由[[连续性方程]]清晰地给出：

:<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}^i)}{\partial q^i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)=0.</math>

即 <math>(\rho, \rho\dot{q}^i,\rho\dot{p}_i)</math> 是一个[[守恒流]]。注意到此式与刘维尔方程的差是

:<math>\rho\sum_{i=1}^d\left(
\frac{\partial\dot{q}^i}{\partial q^i}
+\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right)
=\rho\sum_{i=1}^d\left(
\frac{\partial^2 H}{\partial q^i\,\partial p_i}
-\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q^i}\right)=0,</math>

这里 <math>H</math> 是哈密顿量，并利用了哈密顿方程。这就是说，若将相空间中的运动视为系统点的一个流体，注意到相空间中的速度场 <math>(\dot p , \dot q)</math> 的[[散度]]为零（由哈密顿方程得出），由连续性方程得出密度 <math>d \rho/dt</math> 的[[随流导数]]等于零的定理。

另一个证明是考虑通过相空间中的一朵“点云”的轨迹。直接证明这朵云沿着一个坐标方向拉伸比如 <math>p_i</math>，则在对应的 <math>q^i </math> 方向收缩，从而乘积 <math>\Delta p_i \Delta q^i </math> 保持不变。

等价地，由[[诺特定理]]，守恒流的存在意味着有一个[[对称性 (物理学)|对称]]。对称在时间转换下不变，而这个对称的[[生成元]]（或[[诺特荷]]）是哈密顿量。

== 物理解释 ==
所期望的粒子总数是分布在相空间上的积分：
:<math>N=\int d^dq\,d^dp\,\rho(p,q).\,</math>
习惯上相空间测度有一个正规化因子，但此处将其忽略。在简单情形，一个[[非相对论]]粒子在[[力场]] <math>\mathbf{F}</math> 下在[[欧几里得空间]]运动，具有坐标 <math>\mathbf{x}</math> 与动量 <math>\mathbf{p}</math>，刘维尔定理可以写成
:<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\mathbf{p}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\mathbf{F}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0.\,</math>

这不同于{{le|符拉索夫方程|Vlasov equation}}，或有时[[天体力学]]中的[[玻尔兹曼方程]]。后者有六维相空间，用于描述大量无碰撞粒子在[[重力]]或[[电磁场]]的影响下的运动。

在经典[[统计力学]]中，粒子数 <math>N</math> 非常大（譬如：对一个实验室规模系统为[[阿伏伽德罗常数]]数量级）。令 <math>\partial\rho/\partial t=0</math> 给出了这个系统的稳定状态的一个方程，可用来寻找在一个给定的[[系综|统计系综]]中可达到的[[微观态]]。[[稳定状态方程]]由 <math>\rho</math> 等于哈密顿量 <math>H</math> 的任何函数满足：特别地，它由[[麦克斯韦-玻尔兹曼分布]] <math>\rho\propto e^{-H/kT}</math> 满足，这里 <math>T</math> 是[[温度]] <math>k</math> 是[[玻尔兹曼常数]]。

另见[[正则系综]]与[[微正则系综]]。

== 其他表述 ==

=== 泊松括号 ===
此定理经常用[[泊松括号]]表述为

:<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}\,</math>

或利用'''刘维尔算子'''（{{lang|en|Liouville operator 或 Liouvillian}}）

:<math>\hat{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q^{i}}-\frac{\partial H}{\partial q^{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],\,</math>

写成

:<math>\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\hat{L}}\rho =0.\,</math>

=== 遍历论 ===
在[[遍历论]]与[[动力系统]]中，由目前给出的物理考虑启发，有相应的结果也称为刘维尔定理。在[[哈密顿力学]]中，相空间是一个自然赋有一个光滑[[测度]]的[[光滑流形]]（局部这个测度是 6''n''-维[[勒贝格测度]]）。该定理说这个光滑测度在[[哈密顿流]]下不变。更一般地，我们可以描述一个光滑测度在一个流下不变的充分必要条件。哈密顿力学情形便是一个推论。

=== 辛几何 ===
系统状态在相空间中按哈密顿力学演化，这用辛几何就表述为：系统的演化轨迹是由[[哈密顿向量场]]在相空间这个[[辛流形]]上生成的积分曲线，参见{{tsl|en|Vector_field#Flow_curves|流曲线}}。

要刻画各种量随系统演化而产生的变化，可以使这个量的场 <math>A</math> 依赖于时间参数，也可以考虑流形的自同构 <math>\phi_t</math> ，在几何方法中一般用后者，从而一个量对演化参数（时间） <math>t</math> 的导数应由一个[[李导数]]表示。作为一个例子，假设要考察的量 <math>A</math> 是一个微分形式，那么有 <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_t^*A=\phi_t^*L_X A</math> ，其中 <math>\phi_t^*</math> 是[[拉回 (微分几何)|拉回映射]]。

辛流形上的[[辛形式]] <math>\omega</math> 本身在一个哈密顿向量场 <math>X</math> （对应于前面小节中提到的速度场）的流下是不变的，这一点可以由[[嘉当公式]] <math>L_X=\mathrm d\circ\iota_X+\iota_X\circ\mathrm d</math> 看出来，因为辛形式是闭形式，从而第二项为零，那么：这个李导数在辛形式上的作用为零，当且仅当 <math>\iota_X\omega</math> 是闭形式——满足这个条件的向量场称为[[辛向量场]]。哈密顿向量场是辛向量场这一点也是显然的，因为哈密顿向量场就定义为满足 <math>\iota_X\omega=\mathrm dH</math> 的向量场<math>X</math>，参见[[闭形式与恰当形式]]。只不过由于辛形式是非退化的，所以一个哈密顿函数 <math>H</math> 给出的哈密顿向量场是唯一的。

在[[达布定理 (微分几何)|达布定理]]所保证的[[正则坐标]]下，流形的体积形式就是辛形式的 <math>d</math> 次[[楔积]]（乘上一个系数 <math>1/d!</math> ）。由于哈密顿流保辛形式，所以也保体积形式。等价地说，这意味着自同构的{{tsl|en|Jacobian determinant|雅克比行列式}}是1。哈密顿流保持体积测度不变这一结论有时也被称为刘维尔定理{{来源请求}}。

物理教科书上常见的关于[[随流导数]]的论述，是考虑相空间上的一个初始分布，（出于方便，讨论归一化的概率分布）其概率测度是某个（通常要求是光滑的）[[概率密度函数]] <math>\rho</math> 与体积测度的乘积。注意这个分布未必是在力学演化下不变的（概念上一个极端的例子是一个[[狄拉克分布]]），而须考察不变的条件。在用自同构刻画演化时下，这条件同样是由李导数等于零来表示，不过物理学上更熟悉的形式是写作前面的小节中的偏导数的形式，或使用[[泊松括号]]： <math>L_X\sigma\equiv\{\sigma, H\}</math> 。

===量子力学===
刘维尔方程在[[量子力学]]中的类比描述了一个[[混合态]]的时间演化。[[正则量子化]]得出这个定理的一个量子力学版本。这个过程利用哈密顿力学描述经典系统，经常用于产生经典系统的量子类比。经典变量重新解释为量子算子，而泊松括号用[[交换子]]代替。在这种情形，所得方程是

:<math>\frac{\partial}{\partial t}\rho=\frac{1}{i \hbar}[H,\rho],\,</math>
这里 ρ 是[[密度矩阵]]。

将其应用到一个[[可观测量]]的[[期望值]]，相应的方程由[[埃伦费斯特定理]]给出，具有形式

:<math>\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i \hbar}\langle [A,H] \rangle,\,</math>

这里 <math>A</math> 是一个可观测量。注意符号不同，这由算子的稳定性与状态时间相关之假设得出。

===刘维尔定理之破坏===
2005年，有论文<ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0502340.pdf |title=存档副本 |accessdate=2020-10-23 |archive-date=2020-10-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201026204701/https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0502340.pdf |dead-url=no }}</ref>发现当x与p不是辛形式的时候，尤其演化中存在几何相位，流体密度将可能被压缩。

==注释==
* 刘维尔方程对平衡与非平衡系统都成立。这是非平衡统计力学的基本方程。它对碰撞系统的逼近称为[[玻尔兹曼方程]]。
* 刘维尔方程积分变为[[涨落定理]]的证明，由此可推出[[热力学第二定律]]。它也是线性传播系数（比如切变[[粘性]]、[[热传导率]]或[[电传导率]]）的{{tsl|en|Green–Kubo relations|格林-久保关系}}的推导关键部分。
* 事实上任何[[哈密顿力学]]，高等[[统计力学]]或[[辛几何]]的教材中都会推导刘维尔定理。

==参考文献==
* [[弗拉基米尔·阿诺尔德|В.И.阿诺尔德]]，著. 齐民友，译. 经典力学中的数学方法（第4版）. 北京：高等教育出版社，2006年1月.

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