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在[[电化学|电分析化学]]中，'''列维奇方程'''（Levich equation）是描述{{Le|旋转圆盘电极|Rotating disk electrode}}与溶液界面附近物质[[扩散]]和流动的方程。由苏联电化学家{{Le|韦尼阿明·G·列维奇|Veniamin Levich}}于1942年提出，同时他也是旋转圆盘电极分析法的发明人<ref>{{Cite journal |author=Vinay Marathe，John Newman |title=Current Distribution on a Rotating Disk Electrode |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-electrochemical-society_1969-12_116_12/page/n100 |journal=Journal of The Electrochemical Society |year=1969 |volume=116 |issue=12 |page=1704 |doi=10.1149/1.2411667}}</ref>。其用于预测在旋转圆盘[[伏安法]]中的极限扩散电流（<math>I_L </math>，又称列维奇电流）大小。通常情况下该法测得的电流-电势曲线为为[[S型函数|S型]]，当电流不再随电势改变时，此时的电流大小即为极限电流<ref name=":0">{{Cite book|edition=2|publisher=Wiley|isbn=0-471-04372-9|last=Bard|first=Allen J.|author2=Larry R. Faulkner|title=Electrochemical Methods: Fundamentals and Applications|url=https://archive.org/details/electrochemicalm00bard_176|url-access=limited|date=2000-12-18|page=336}}</ref><ref name=":1">{{Cite book|title=电极过程动力学：基础、技术与应用|last=徐艳辉、耿海龙|publisher=化学工业出版社|year=2015|isbn=9787122235008|location=北京}}</ref><ref name=":2">{{Cite book|title=电极过程原理和应用|last=陆兆锷|publisher=高等教育出版社|year=1992|isbn=9787040022186|location=北京}}</ref>。

==方程与推导==

=== '''方程''' ===
对于一个电化学反应：<math>Ox + n e^{-} \rightleftharpoons Red</math>，其中<math>Ox </math>为氧化态，<math>Red </math>为还原态。在反应过程为扩散控制情况下，则列维奇方程如下所示：

:<math>I_L = 0.62n F A D^\frac{2}{3}  \omega^\frac{1}{2}\nu^\frac{-1}{6}C</math>

* <math>I_L </math>为极限电流，或列维奇电流，单位：A，
* <math>n </math>为反应转移电子数，
* <math>F </math>为[[法拉第常数]]=96485 C/mol，
* <math>A </math>为电极面积，单位：m<sup>2</sup>，
* <math>D </math>为要分析物质的[[菲克定律|扩散系数]]，单位：m<sup>2</sup>/s，
* <math>\omega </math>为旋转圆盘电极旋转的[[角速度]]，单位：rad/s，
* <math>\upsilon </math>为溶液的[[黏度|运动黏度]]，单位：m<sup>2</sup>/s，
* <math>C </math>为要分析物质的浓度，单位：mol/m<sup>3</sup>
* 为了保持[[量纲]]一致，系数0.620的单位为rad<sup>-1/2</sup>

其亦可写成电流密度<math>j_L</math>（单位：A/m<sup>2</sup>）的形式：

<math>j_L = 0.62 n F D^\frac{2}{3}  \omega^\frac{1}{2}\nu^\frac{-1}{6}C</math>

=== '''推导''' ===
根据能斯特{{Le|扩散层|Diffusion layer}}厚度<math>\delta</math>公式

<math>\delta = 1.61 \upsilon^\frac{1}{6} D^\frac{1}{3}\omega^\frac{-1}{2}</math>

当电极表面电活性物种浓度为0时，代入电流密度<math>j_L</math>的定义式

<math>j_L = nFD\frac{C}{\delta}</math>

即可得到以电流密度表示的列维奇方程<ref>{{Cite journal |author=J. NikolicE. ExpósitoJ. IniestaJ. González-GarciaV. Montiel |title=Theoretical Concepts and Applications of a Rotating Disk Electrode |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-chemical-education_2000-09_77_9/page/n110 |journal=Journal of Chemical Education |year=2000 |volume=77 |issue=9 |page=1191 |doi=10.1021/ed077p1191}}</ref>。

对于式中的系数0.620具体推导过程，是由[[西奥多·冯·卡门]]<ref>{{Cite journal |author=Th. V. Kármán |title=Über laminare und turbulente Reibung |journal=Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik |year=1921 |volume=1 |issue=4 |page=233-252 |doi=10.1002/zamm.19210010401}}</ref>和{{Le|威廉·格默尔·科克兰|William Gemmell Cochran}}<ref>{{Cite journal |author=Cochran, W.G. |title=The Flow Due to a Rotating Disk |journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |year=1934 |volume=30 |page=365-375 |doi=10.1017/S0305004100012561}}</ref>根据[[纳维-斯托克斯方程]]求得电极表面速度分布后推导得到的。在[[圓柱坐標系|柱坐标系]]下，轴向速度分布<math>v_y</math>和径向速度分布<math>v_r</math>为<ref>{{Cite journal |author=Ph. Mandin, Th. Pauporté, Ph. Fanouillère, D. Lincot |title=Modelling and numerical simulation of hydrodynamical processes in a confined rotating electrode configuration |journal=Journal of Electroanalytical Chemistry |year=2004 |volume=565 |issue=2 |page=159-173 |doi=10.1016/j.jelechem.2003.08.035}}</ref><ref name=":0" />：

:<math>v_y = -0.51\omega^\frac{3}{2} \nu^\frac{-1}{2} y^2</math>
:<math>v_r = 0.51 \omega^\frac{3}{2} \nu^\frac{-1}{2} ry</math>

随后通过对稳态对流扩散方程进行积分即可得到列维奇方程：

:<math>v_y \Big(\frac{\partial C}{\partial y}\Big) = D\frac{\partial^2 C}{\partial y^2}</math>

根据转速<math>\omega </math>的表达方式不同，列维奇方程前面0.62的系数有时也会发生相应改变，如<math>\omega </math>以[[赫兹]]（Hz）为单位时则变成1.554；用[[每分鐘轉速|转每分钟]]（rpm）为单位则是0.201<ref>{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/162129983|title=Handbook of electrochemistry|date=2007|publisher=Elsevier|others=Cynthia G. Zoski|isbn=978-0-08-046930-0|edition=1st|location=Amsterdam|oclc=162129983}}</ref>。

尽管列维奇方程已经满足大多数分析情况，但基于在速度表达式中使用更多项进行推导得到改进形式也是可行的<ref>John Newman, J. Phys. Chem., 1966, 70 (4), 1327-1328</ref><ref>{{Cite book|edition=2|publisher=Wiley|isbn=0-471-04372-9|last=Bard|first=Allen J.|author2=Larry R. Faulkner|title=Electrochemical Methods: Fundamentals and Applications|url=https://archive.org/details/electrochemicalm00bard_176|url-access=limited|date=2000-12-18|page=[https://archive.org/details/electrochemicalm00bard_176/page/n356 339]}}</ref>。

'''简化形式'''

在其他条件固定的情况下，列维奇方程中除转速外其他因素可视作常数，可简化为一个常数B，称作'''列维奇常数'''<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":2" />：

:<math>I_L = \underbrace{(0.620) n F A D^\frac{2}{3} \nu^\frac{-1}{6}C}_{B} \, \omega^\frac{1}{2}=B\, \omega^{0.5}</math>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==外部链接==
* http://www.calctool.org/CALC/chem/electrochem/levich {{Wayback|url=http://www.calctool.org/CALC/chem/electrochem/levich |date=20220521101844 }}
[[Category:电化学]]
[[Category:电化学方程]]