查看“︁列維-奇維塔符號”︁的源代码

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{{NoteTA
|G1=Math
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'''列維-奇維塔符號'''（Levi-Civita symbol），又稱'''列維-奇維塔ε'''，為一在[[線性代數]]，[[張量分析]]和[[微分幾何]]等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 {{math|''n''}} ，它以{{math|1, 2, ..., ''n''}} 所形成[[排列的奇偶性]]來定義。它以義大利數學家和物理學家[[图利奥·列维-齐维塔]]命名。其他名稱包括'''排列符號'''、'''反對稱符號'''與'''交替符號'''。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。

列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 {{math|ε}} 或 {{math|ϵ}} ，較不常見的也有以拉丁文小寫 {{math|''e''}} 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列：
:<math>\varepsilon_{a_1a_2\cdots a_n}</math>

其中每個下標指標 {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}} 取值介乎 {{math|1}} 到 {{math|''n''}} 。在 {{math|''ε''<sub>''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>...''a''<sub>''n''</sub></sub>}} 中，共有 {{math|''n<sup>n</sup>''}} 個指標排列，可以排成為一個 {{math|''n''}} 維陣列。

當任何兩個指標相等，則定義符號值等於 {{math|0}} ：
:<math>\varepsilon_{\cdots a_p \cdots a_p \cdots }=0</math>；

當全部指標都不相等時，我們定義：
:<math>\varepsilon_{a_1 a_2 \cdots a_n} = (-1)^p \varepsilon_{1 2 \cdots n}</math>，

其中 {{math|''p''}} 稱為「[[排列的奇偶性]]」 (parity of permutation)，是要將 {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}} 變換成自然次序 {{math|1, 2, ..., ''n''}} ，所需的對換次數。而因子 {{math|(−1)<sup>''p''</sup>}} 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡， {{math|''ε''<sub>12...''n''</sub>}} 的值必須有定義，否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 {{math|+1}} 作為自然次序的值：

:<math>\varepsilon_{12\cdots n}=+1 </math>。

在本文中，也將使用這個定義。

從定義可知，當任何兩個指標互換，則須加上負號：
:<math>\varepsilon_{\cdots a_p \cdots a_q \cdots }=-\varepsilon_{\cdots a_q \cdots a_p \cdots }</math>。
這稱為「完全反對稱性」。

“{{math|''n''}} 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數 {{math|''n''}} ，和所討論的向量空間維度相符，其中可指[[歐幾里得空間]]或[[非歐幾里得空間]]，例如 {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 的 {{math|''n'' {{=}} 3}} 或[[閔可夫斯基空間]]的 {{math|''n'' {{=}} 4}} 。

列維-奇維塔符號的值，與參考座標系無關。此外，這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。

列維-奇維塔符號可用來表示[[正方矩陣]]的[[行列式]]，及三維歐幾里德空間中的兩個[[向量]]的[[叉積]]。

==定義==
列維-奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前，先給出這些符號值。

=== 二維 ===
在二維中，列維-奇維塔符號定義如下：
:{|
| rowspan="3" |<math> \varepsilon_{ij} =
\begin{cases}
+1 \\
-1 \\
0 
\end{cases} \,</math>
|當 <math>\left( i,j \right )=\left( 1,2 \right) </math>
|-
|當 <math>\left( i,j \right )=\left( 2,1 \right) </math>
|-
|當 <math>i=j</math>
|}

這些值可以排列成 {{math|2×2}} [[反對稱矩陣]]：
:<math>\begin{pmatrix}
    \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\
    \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
     0 & 1 \\
    -1 & 0
\end{pmatrix}</math>

相對於其他維度，二維的列維-奇維塔符號並不常見，雖然在某些專門的主題，如[[超對稱]]和[[扭量理論]]中，談及2-[[旋量]]時會用到。

=== 三維 ===
[[File:Permutation indices 3d numerical.svg|thumb|210px|對於 {{math|''ε''<sub>''ijk''</sub>}} 的指標 {{math|(''i'', ''j'', ''k'')}} ，數字 {{math|1, 2, 3}} 在  {{color box|orange}} 循環排列的次序，對應 {{math|1=''ε'' = +1}}。在 {{color box|red}} 反循環排列的次序，則對應 {{math|1=''ε'' = −1}}。其餘情況下， {{math|1=''ε'' = 0}}。]]
三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中，列維-奇維塔符號定義如下：
:{|
| rowspan="3" |<math> \varepsilon_{ijk} =
\begin{cases}
+1 \\
-1 \\
0 
\end{cases} \,</math>
|當 <math>\left ( i,j,k \right )=\left( 1,2,3 \right)</math> 、 <math>\left( 2,3,1 \right) </math> 或 <math>\left( 3,1,2 \right) </math>
|-
|當 <math>\left ( i,j,k \right )=\left(3,2,1 \right)</math> 、 <math>\left( 2,1,3 \right) </math> 或 <math>\left( 1,3,2 \right) </math>
|-
|當 <math>i=j</math> 、 <math>j=k </math> 或 <math>i=k </math>
|}

也就是說，如果 {{math|(''i'', ''j'', ''k'')}} 是 {{math|(1, 2, 3)}} 的偶排列，則符號值為 {{math|+1}} 。如果是奇排列，則符號值為 {{math|−1}} 。如果任何兩個索引重複，則符號值為 {{math|0}} 。

僅在三維中， {{math|(1, 2, 3)}} 的循環排列都是偶排列，反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中，僅觀察 {{math|(''i'', ''j'', ''k'')}} 是 {{math|(1, 2, 3)}} 的循環排列，還是反循環排列，就足以分辨其奇偶性。

類似於二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值可以排成 {{math|3×3×3}} 陣列：
:[[File:Epsilontensor.svg|200px]]

其中 {{math|''i''}} 是深度 ({{color|blue|藍色}}: {{math|1=''i'' = 1}}; {{color|red|紅色}}: {{math|1=''i'' = 2}}; {{color|green|綠色}}: {{math|1=''i'' = 3}}) ， {{math|''j''}} 是橫行，{{math|''k''}} 是直列。

以下是一些例子：
:<math>\begin{align}
  \varepsilon_{\color{BrickRed}{1}  \color{Violet}{3}  \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}  \color{Orange}{2}\color{Violet}{3}} &= - 1 \\
  \varepsilon_{  \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}  \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{  \color{Orange}{2}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\
  \varepsilon_{  \color{Orange}{2}  \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}  \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\
  \varepsilon_{  \color{Orange}{2}  \color{Violet}{3}  \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{  \color{Orange}{2}  \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= 0
\end{align}</math>

=== 四維 ===
在四維中，列維-奇維塔符號定義如下：

:{|
| rowspan="3" |<math> \varepsilon_{ijkl} =
\begin{cases}
+1 \\
-1 \\
0 
\end{cases} \,</math>
|當 <math>\left ( i,j,k, l \right )=\left( 1,2,3, 4 \right)</math> 的偶排列
|-
|當 <math>\left ( i,j,k, l \right )=\left( 1,2,3, 4 \right)</math> 的奇排列
|-
|其餘情況，即任意兩個指標相等
|}

這些值可以排成 {{math|4×4×4×4}} 陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。

以下是一些例子：
:<math>\begin{align}
\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= - 1\\
\varepsilon_{\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= -1\\
\varepsilon_{\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}}) = 1\\
\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} = -\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} &= 0
\end{align}</math>

=== 推廣到高維 ===
更一般地推廣到 {{math|''n''}} 維中，則列維-奇維塔符號的定義為：
{|
| rowspan="3" |<math> \varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} =
\begin{cases}
+1 \\
-1 \\
0 
\end{cases} </math>
|當 <math>(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n)</math> 是 <math>(1,2,3,\dots,n)</math> 的偶排列
|-
|當 <math>(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n)</math> 是 <math>(1,2,3,\dots,n)</math> 的奇排列
|-
|其餘情況，即任意兩個指標相等
|}

又可使用求積符號 {{math|∏}} 表達為：

:<math> \begin{align}
  \varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} & = \prod_{1\leq i < j \leq n} \sgn ( a_j-a_i ) \\
                                       & = \sgn(a_2 - a_1)\sgn(a_3 - a_1)\dots\sgn(a_n - a_1)\sgn(a_3 - a_2)\sgn(a_4 - a_2)\dots\sgn(a_n - a_2)\dots\sgn(a_n - a_{n-1})
\end{align}</math>

其中的 {{math|sgn(''x'')}} 是[[符號函數]]，根據 {{math|''x''}} 的正負給出 {{math|+1}} 、 {{math|0}} 或 {{math|−1}}。該公式對對於任何 {{math|''n''}} 及任何指標排列都有效（當 {{math|''n'' {{=}} 0}} 或 {{math|1}} 時，定義為[[空積]] {{math|1}}）。

然而，計算以上公式的[[時間複雜度]]為 {{math|O(''n''<sup>2</sup>)}} ，而以不交循環排列的性質計算，則只需 {{math|O(''n'' log(''n''))}} 。

兩個列維-奇維塔符號的積，可以用一個以[[廣義克羅內克函數]]表示的行列式求得：

:<math> \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{mnl\dots} = \begin{vmatrix}
\delta_{im} & \delta_{in} & \delta_{il} & \dots \\
\delta_{jm} & \delta_{jn} & \delta_{jl} & \dots \\
\delta_{km} & \delta_{kn} & \delta_{kl} & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\end{vmatrix} </math>

== 應用和範例 ==
=== 行列式 ===
在[[线性代数]]中， {{math|3×3}} 的方陣 {{math|''A'' {{=}} (''a<sub>ij</sub>'')}} ：
: <math>A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}</math>，

其[[行列式]]可以寫為：
:<math>\det(A) = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \,a_{1i} \, a_{2j}\, a_{3k}</math>，

類似地， {{math|''n''×''n''}} 矩陣 {{math|''A'' {{=}} (''a<sub>ij</sub>'')}} 的行列式可以寫為：

:<math> \det(A) = \sum_{a_1,a_2,\cdots,a_n=1}^n \varepsilon_{a_1a_2\cdots a_n}\, a_{1a_1}\,a_{2a_2}\, \cdots\, a_{na_n},</math>

=== 向量的叉積 ===
對於[[向量]] {{math|'''a'''}} 與 {{math|'''b'''}} ，它們的[[叉積]]：
:<math>
\boldsymbol a \times\boldsymbol b =
 \begin{vmatrix} 
 \boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \boldsymbol e_3 \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{1\leq i,j,k\leq 3} \varepsilon_{ijk}\,a_ib_j\, \boldsymbol e_k
</math>

對於[[向量]] {{math|'''a'''}} 、 {{math|'''b'''}} 與 {{math|'''c'''}} ，它們的[[三重積]]：
:<math>
\boldsymbol a \cdot (\boldsymbol b \times \boldsymbol c)=
 \begin{vmatrix} 
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 c_1 & c_2 & c_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{1\leq i,j,k\leq 3} \varepsilon_{ijk}\,a_i b_j c_k 
</math>

==性質==
由列維-奇維塔符號給出（[[共變和反變|共變]]等級為{{mvar|n}}）[[張量]]在[[标准正交基|正交基礎]]中的組成部份，有時稱為“置換張量”。

根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維-奇維塔符號是一種[[贗張量]]，因為在[[雅可比矩阵|雅可比行列式]]−1的[[正交矩陣|正交變換]]之下，例如，一個奇數維度的[[反射_(数学)|鏡射]]，如果它是一個張量，它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。

由於列維-奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。

在一般[[坐標系#.E5.9D.90.E6.A0.87.E8.BD.89.E6.8F.9B|座標變換]]下，置換張量的分量乘以[[变换矩阵]]的[[雅可比矩阵|雅可比]]。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為±1。

在無指標的張量符號中，列維-奇維塔符號被[[霍奇对偶]]的概念所取代。

在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中，列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成：
:<math>\varepsilon^{ij\dots k} = \varepsilon_{ij\dots k} .</math>
在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。

使用[[爱因斯坦求和约定|愛因斯坦標記法]]可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如，
:<math>\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn} \equiv \sum_{i=1,2,3} \varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}</math>.

以下的例子使用愛因斯坦標記法。

===二維===
在二維上，當所有<math>i </math>，<math>j </math>，<math>m </math>，<math>n </math>各取值1和2時，

{{NumBlk|: | <math>\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} = {\delta_i}^m {\delta_j}^n - {\delta_i}^n {\delta_j}^m </math> |{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|: | <math>\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in} = {\delta_j}^n </math> |{{EquationRef|2}}}}
{{NumBlk|: | <math>\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij} = 2. </math> |{{EquationRef|3}}}}

===三維===
==== 指標和符號值 ====
在三維中，當所有<math>i </math>，<math>j </math>，<math>k </math>，<math>m </math>，<math>n </math>各取值1,2和3時：

{{NumBlk|: | <math>\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta_j{}^{m}\delta_k{}^n - \delta_j{}^n\delta_k{}^m </math> |{{EquationRef|4}}}}
{{NumBlk|: | <math>\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2{\delta_j}^i </math> |{{EquationRef|5}}}}
{{NumBlk|: | <math>\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6. </math> |{{EquationRef|6}}}}

==== 乘積 ====
列維-奇維塔符號與[[克罗内克函数]]有關。 在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）：
:<math>\begin{align}
  \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} &= \begin{vmatrix}
    \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
    \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
    \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\
  \end{vmatrix} \\[6pt]
                                     &= \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right). 
\end{align}</math>

這個結果的一個特例是({{EquationNote|4}}):
:<math>\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}</math>

有時候其被稱為“contracted epsilon identity”。

在愛因斯坦標記法中，<math>i </math>指標的重複表示對於<math>i </math>的求和。由此，上述結論可表記為：
:<math>\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km} </math>

進一步可以知道：
:<math>\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}</math>

===''{{mvar|n}}''維===
====指標和符號值====
在{{mvar|n}}維中，當所有<math>i_1,\ldots,i_n,j_1,\ldots,j_n </math>take values<math>1,2,\ldots,n </math>：
{{NumBlk|: | <math>\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta_{[ i_1}^{j_1} \dots \delta_{i_n ]}^{j_n} = \delta^{j_1 \dots j_n}_{i_1 \dots i_n}</math> |{{EquationRef|7}}}}
{{NumBlk|: | <math>\varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1} \dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1} \dots j_n} = k!(n - k)!~\delta_{[ i_{k+1}}^{j_{k+1}} \dots \delta_{i_n ]}^{j_n} = k!~\delta^{j_{k+1} \dots j_n}_{i_{k+1} \dots i_n} </math> |{{EquationRef|8}}}}
{{NumBlk|: | <math>\varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n! </math> |{{EquationRef|9}}}}

驚嘆號(<math>! </math>)代表[[階乘]]，而<math>\delta^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots} </math>是廣義克罗内克函数，對於任意{{mvar|n}}有屬性：
:<math>\sum_{i, j, k, \dots = 1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!</math>

從以下事實可得出：
*每個排列是偶排列或奇排列，
*<math>(+1)^2=(-1)^2=1 </math>，與
*任何{{mvar|n}}-元素集合的排列數正好是<math>n! </math>。

====乘積====
一般來說，對於{{mvar|n}}維，兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成：
:<math>
  \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \dots j_n} = \begin{vmatrix}
    \delta_{i_1 j_1} & \delta_{i_1 j_2} & \dots  & \delta_{i_1 j_n} \\
    \delta_{i_2 j_1} & \delta_{i_2 j_2} & \dots  & \delta_{i_2 j_n} \\
    \vdots           & \vdots           & \ddots & \vdots \\
    \delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots  & \delta_{i_n j_n} \\
  \end{vmatrix}
</math>

===證明===


[[Category:置换|L]]
[[Category:張量|L]]
[[Category:数学符号]]