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[[数学]]上，'''切触几何'''({{lang-en|Contact geometry}})是研究[[流形]]上的''完全不可积''超平面的几何。根据[[弗洛比尼斯定理]]，这个（大致来讲）可以通过[[叶状结构]]的不成立来识别。作为它的姐妹，[[辛几何]]属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。

==应用==
切触几何和辛几何一样在[[物理学]]中有广泛的应用，例如，[[几何光学]]、[[经典力学]]、[[热力学]]、[[几何量子化]]、[[可積系統]]<ref>A. Sergyeyev, New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry, Lett. Math. Phys. 108 (2018), no. 2, 359-376 {{doi|10.1007/s11005-017-1013-4}} {{arxiv|1401.2122}}</ref>、以及诸如[[控制论]]这样的应用数学。它也可以用于证明有趣的事情，例如‘你总是可以[[平泊]]你的汽车，只要空间足够大’。
切触几何有很多[[低维拓扑]]中的应用；一个这种相关性的表现就是每个[[三维流形]]都有一个切触结构。

==切触形式和结构==

在2''n''+1维流形''M''上, 一个''切触形式'' &alpha;是一个（局部）[[微分流形|1-形式]]，且具有属性

:<math> \alpha \wedge (d\alpha)^n\ne 0. </math>

一个''切触结构'' &xi;就是一个2''n''+1维流形上的一个切触形式&alpha;的核，即一个完全不可积超平面场。大致来讲，这表示你无法在一个开集上找到和&xi;相切的一片超曲面。

从定义可以导出''d''&alpha; 限制到&xi; 上时是非退化的。这表示&xi; 是一个该流形上的[[辛丛]]。因为辛空间是偶数维的，切触流形必须是奇数维的。

作为基本例子，考虑''R''<sup>3</sup>，使用坐标(''x, y, z''), 1-形式 ''dz-ydx'' 就是一个切触形式. 

在一点(''x,y,z'') 的切触平面&xi;由下列向量张成

:''X<sub>1</sub> = &part;<sub>y</sub>'' 

和

:''X<sub>2</sub> = &part;<sub>x</sub>+y&part;<sub>z</sub>''. 

实际上很容易将这个例子推广到任意''R<sup>2n+1</sup>''。根据[[达布定理]]，一个流形上的每个切触结构局部看起来就是这个例子。

任何''n''-维流形''M''的[[余切丛]] ''T<sup>*</sup> M''本身是一个流形(维数为2''n'')，并且自然地支持一个恰当辛结构&omega; = ''d''&lambda;。(这个1-形式&lambda;有时称为''刘维尔形式'')。在流形上取一个[[黎曼度量]]。这允许我们考虑每个余切平面中的[[单位球]]。刘维尔形式限制到单位余切丛是一个切触结构。[[向量场]] ''A'' (唯一地)由&lambda;(''A'')=1和''d''&lambda;''定义，(A, B)=0''对于所有该度量的[[测地流]]生成的向量场''B''成立。

另一方面，可以通过考虑'' T<sup>*</sup>M&times; R''来构造一个切触流形。采用坐标(''x,t'')，这个流形有一个切触结构

:&alpha;=''dt''+&lambda;.

最后这个例子表明如何从辛流形得到切触流形。同样可以从切触流形构造一个辛流形，也是通过和''R'' 的直积：
若&alpha;是一个切触形式，在流形''M''上，则

:&omega;=''d(e<sup>t</sup>&alpha;)'' 

是一个''M&times;R''上的辛流形，其中''t'' 表示在''R''-方向的变量。

==勒让德子流形和纽结==

切触流形最有意思的子空间是它的[[勒让德子流形]]。在(2n+1)-维流形上的切触超平面场的不可积性意味着没有2n-维子流形可以将它作为它的切丛，局部的都不行。但是，通常可以找到一个n-维（嵌入或者浸入）子流形，其切空间位于切触场内。勒让德子流形和辛流形的拉格朗日子流形类似。它们之间有一个精确的关系：勒让德子流形在切触流形的辛化中的提升是一个拉格朗日子流形。
勒让德子流形的最简单的例子是在一个切触三维流形中的勒让德纽结。不等价的勒让德纽结可能作为光滑纽结是等价的。

勒让德子流形是很刚性的对象；在一些情况下，子流形为了成为勒让德子流形而必须解开纽结。[[Floer同调#辛场论|辛场论]]提供勒称为[[切触同调]]的勒让德子流形的不变量，它们有时可以用于区分拓扑等价的勒让德子流形。

==Reeb向量场==

若&alpha;是一个给定切触结构的切触形式，Reeb向量场R可以定义维d&alpha;的核的唯一满足&alpha;(R)=1的元素。其动力学可以用于研究切触流形的结构甚或用诸如[[辛场论]]和[[Floer同调#嵌入切触同调|嵌入切触同调]]这类的[[Floer同调]]来研究流形本身。

==历史回顾==

切触几何的根源出现于[[克里斯蒂安·惠更斯]]、[https://web.archive.org/web/20060306001346/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Barrow.html Barrow]和[[艾萨克·牛顿|牛顿]]的著作中。'''切触变换'''的理论（也即保持一个切触结构的变换）是[[索甫斯&middot;李]]发展的，其目的是双重的，包括研究微分方程（例如[[勒壤得轉換|勒让德变换]]）和表述[[射影对偶性]]中常见的'空间元素的变换'。

==参考==

切触几何入门：

* Etnyre, J. ''Introductory lectures on contact geometry'', Proc. Sympos. Pure Math. 71 (2003), 81-107.[http://front.math.ucdavis.edu/math.SG/0111118 arXiv]{{Dead link|date=2020年6月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*Geiges, H. ''Contact Geometry'', [http://front.math.ucdavis.edu/math.SG/0307242 arXiv]{{Dead link|date=2020年6月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*Aebischer et.al. ''symplectic geometry'', Birkh&auml;user, 1994.

切触三维流形和勒让德纽结：

* William Thurston, ''Three-Dimensional Geometry and Topology''.   Princeton University Press, 1997.

切触几何的历史信息：

* Lutz, R. ''Quelques remarques historiques et prospectives sur la g&eacute;om&eacute;trie  de contact '', Conf. on Diff.Geom. and Top. (Sardinia, 1988) Rend. Fac. Sci. Univ. Cagliari 58 (1988), suppl., 361-393.
* Geiges, H. '' A Brief History of Contact Geometry and Topology'', Expo. Math. 19 (2001), 25-53.
* Arnold, V.I. (trans.  E. Primrose),   ''Huygens and Barrow, Newton and Hooke: pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals''.  Birkhauser Verlag, 1990.

[[Category:微分几何|Q]]
[[Category:流形上的结构]]
[[Category:辛拓扑]]