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'''切薩羅求和'''（{{lang-en|Cesàro summation}}）也稱為'''切薩羅平均'''（Cesàro mean）<ref name="Hardy">
{{cite book | last = Hardy | first = G. H.| title = Divergent Series | publisher = American Mathematical Society | location = Providence | year = 1992 | isbn = 978-0-8218-2649-2 }}</ref><ref name="Katznelson">
{{cite book | last = Katznelson | first = Yitzhak | title = An Introduction to Harmonic Analysis | url = https://archive.org/details/introductiontoha0000katz | publisher = Dover Publications | location = New York | year = 1976 | isbn = 978-0-486-63331-2 }}
</ref>或'''切薩羅極限'''（Cesàro limit）<ref>{{cite book |title=A First Course in Stochastic Models |author=Henk C. Tijms |page=439 |publisher=John Wiley & Sons |year=2003 |isbn=978-0-471-49880-3 |url=https://books.google.com/books?id=RK9yFrNxom8C&dq=%22the+Cesaro+limit%22&pg=PA439}}</ref>，是由義大利的數學家[[恩納斯托·切薩羅]]（Ernesto Cesàro）發明，是計算[[無窮級數]]和的方式。若一[[級數]][[收斂]]至α，則其切薩羅和存在，其值為 α，而有些[[發散級數]]也可以用切薩羅求和的方式，計算出切薩羅和。可以計算切薩羅求和的級數是'''切薩羅可求和'''的級數。

切薩羅求和可視為是一種特殊的{{le|矩陣可求和法|Matrix summability method}}。

切薩羅求和中的「求和」一詞可能會造成誤解，而有關切薩羅求和的敘述和證明也和無窮級數證明的{{le|Eilenberg–Mazur swindle|Eilenberg–Mazur swindle}}有關。有關切薩羅可求和級數，常被提到的是[[格蘭迪級數]]，依照切薩羅求和可得其「和」為1/2<sup>。
== 定義 ==
令{''a''<sub>n</sub>}為一[[數列]]，且令
:<math>s_k = a_1 + \cdots + a_k</math>
為數列前''k''項的[[部份和]]：
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>.
若以下的條件成立，則此數列{''a''<sub>n</sub>}的切薩羅和存在，且其值為α。
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = \alpha</math>.

== 格蘭迪級數的例子 ==
{{main|格蘭迪級數}}
令 ''a''<sub>n</sub> = (-1)<sup>n+1</sup>, ''n'' ≥ 1。因此{''a''<sub>n</sub>} 為以下的數列：
:<math>1, -1, 1, -1, \ldots</math>。

其部份和組成的數列 {''s''<sub>n</sub>} 為
:<math>1, 0, 1, 0, \ldots</math>；
此數列為[[格蘭迪級數]]，不會收斂。

而數列 {(''s''<sub>1</sub> + ... + ''s''<sub>n</sub>)/''n''} 的各項分別為
:<math>\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots</math>；
當''n''趨近於[[無限大]]，切薩羅和為如下極限：
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2</math>。

因此，數列 {''a''<sub>n</sub>} 的切薩羅和為 1/2。

== 推廣 ==
切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和，表示為(C, ''n'')，其中''n''為非負整數。
(C, 0) 是一般定義下的和，而(C, 1)就是上述的切薩羅和。

''n''>1時的(C, ''n'') 如下所述：
對於級數Σ''a''<sub>''n''</sub>, 定義
:<math>A_n^{-1}=a_n; A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}</math>
(上面的指数不表示指数)且定義 ''E''<sub>''n''</sub><sup>α</sup> 為數列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 ''A''<sub>''n''</sub><sup>α</sup>。
則 Σ''a''<sub>''n''</sub> 的 (C, α) 和則為
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}</math>
若以上數值存在。<ref>Shawyer and Watson pp.16-17</ref>

这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。

== 相關條目 ==
* [[發散級數]]
* [[阿贝尔求和公式]]
* {{link-en|Abel–Plana formula|Abel–Plana formula}}
* {{link-en|Abelian and tauberian theorems|Abelian and tauberian theorems}}
* [[几乎收敛序列]]
* [[博雷爾求和]]
* {{le|切薩羅平均|Cesàro mean}}
* [[博雷爾求和]]
* {{link-en|尤拉求和|Euler summation}}
* {{link-en|Euler–Boole summation|Euler–Boole summation}}
* {{link-en|Fejér定理|Fejér's theorem}}
* [[赫尔德求和]]
* {{link-en|Lambert求和|Lambert summation}}
* [[佩龙公式]]
* [[拉馬努金求和]]
* {{le|里斯平均|Riesz mean}}
* {{link-en|Silverman–Toeplitz定理|Silverman–Toeplitz theorem}}
* [[斯托尔兹-切萨罗定理]]
* {{link-en|柯西極限定理|Cauchy's limit theorem}}
* [[分部求和法]]

== 註解 ==
{{reflist}}

== 參考文獻 ==
*{{cite book |author=Shawyer, Bruce and Bruce Watson |title=Borel's Methods of Summability: Theory and Applications |publisher=Oscford UP |year=1994 |id=ISBN 978-0-19-853585-0}}

[[Category:可和法]]
[[Category:平均数]]