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'''切线法'''是利用[[切线]]构造[[不等式]]的方法，有时会结合[[延森不等式]]。<ref>{{cite journal|author=程汉波|year=2013|title=对“构造切线法”证明对称不等式的一点改进|journal=数学教学|issue=9|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXXJ201309014.htm|access-date=2014-07-16|archive-date=2019-05-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20190513014028/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXXJ201309014.htm|dead-url=no}}</ref>

切线法是属于试探性的方法，但使用范围比延森不等式更广，例如半凹半凸的函数<math>x^2+2\sqrt{x}</math>不能使用延森不等式，但能使用切线法。<ref name="lt">{{cite journal|author=郭子伟|year=2011|title=例谈不等式证明中的“切线法”及其拓展|journal=数学空间|issue=5|pages=第27-34页|url=http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj3/sxkj3ts/201105/t20110516_1041458.htm|access-date=2014-07-16|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304192859/http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj3/sxkj3ts/201105/t20110516_1041458.htm|dead-url=no}}</ref>

==常规方法==
对于<math>x_1,x_2,...,x_n \in D,x_1+x_2+...+x_n=k</math>，D为给定区间，k为常数，求证<math>f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \le (\ge) C</math>

观察得取等条件为<math>x_1=x_2=...=x_n=\frac{k}{n}</math>时，找出<math>f(x)</math>在<math>x=\frac{k}{n}</math>处的切线函数<math>px+q</math>（假设f[[可导]]），尝试证明局部不等式<math>f(x) \le (\ge) px+q </math>。<ref name="lt"/>

==例子==
已知<math>a,b,c \ge 0,a+b+c=1</math>，求证<math>\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \le \sqrt{21}</math>
:猜得<math>a=b=c=\frac{1}{3}</math>时取等，构造切线使<math>\sqrt{4a+1} \le pa+q</math>让<math>\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \le \sqrt{21}</math>成立。
:<math>\sqrt{4a+1}=\sqrt{\frac{7}{3}}</math>
:<math>(\sqrt{4a+1})'=\frac{2}{\sqrt{4a+1}}=2\sqrt{\frac{3}{7}}</math>
:所求切线为<math>2\sqrt{\frac{3}{7}}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{\frac{7}{3}}</math>
:<math>(2\sqrt{\frac{3}{7}}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{\frac{7}{3}})^2-(4a+1)=\frac{4}{21}(3a-1)^2 \ge 0</math>证得<math>\sqrt{4a+1} \le 2\sqrt{\frac{3}{7}}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{\frac{7}{3}}</math>
:<math>\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \le 2\sqrt{\frac{3}{7}}(a+b+c-1)+3\sqrt{\frac{7}{3}} = \sqrt{21}</math><ref name="lt"/>

==参考资料==
{{reflist}}

[[分类:不等式]]