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{{NoteTA|G1=Math }}
{{For|[[概率论]]中相似名稱的不等式|切比雪夫不等式}}
[[數學]]上的'''切比雪夫總和不等式'''或'''切比雪夫不等式'''以[[數學家]][[切比雪夫]]命名，可用以比較兩組數積的和及兩組數的線性和的積的大小：

若<math>a_1 \geq a_2 \ge \cdots \geq a_n</math>且<math>b_1 \geq b_2 \ge \cdots \geq b_n</math>，則：
:<math>n \sum_{k=1}^n a_kb_k \ge \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right) \ge n \sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}</math>。

上式也可以寫作
:<math>\frac1n \sum_{k=1}^n a_kb_k \ge \left(\frac1n \sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\frac1n \sum_{k=1}^n b_k\right) \ge \frac1n \sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}</math>。

它是由[[排序不等式]]而來。

== 证明 ==
设<math>a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n</math>且<math>b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n</math>，由[[排序不等式]]可知，最大的和为顺序和：
:<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n</math>

于是：
:<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n</math>
:<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1</math> 
:<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2</math> 
:: <math>\vdots</math>
:<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1}</math> 

将这<math>n</math>个[[不等式]]分边相加，同时对右边进行[[因式分解]]，便得到：
:<math>n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n)</math>

两边都除以<math>n^2</math>，就得到切比雪夫不等式的第一个[[不等号]]：
:<math>\frac {a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n} {n} \geq \frac {a_1 + \cdots + a_n}{n} \cdot \frac {b_1 + \cdots + b_n}{n}</math>

同理，右边的不等号可由最小的和为逆序和推得。

== 积分形式 ==
切比雪夫不等式的[[积分]]形式如下:

若<math>f</math>和<math>g</math>是[[区间]]<math>[0, 1]</math>上的可积的[[实函数]]，并且两者都是[[递增]]或两者都是递减的，则：
:<math>\int fg \geq \int f \int g</math>

上式可[[广义化|推广]]到任意区间。

== 相关条目 ==
* [[排序不等式]]

== 外部連結 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html Mathworld: Chebyshev Sum Inequality] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html |date=20191223045426 }}

[[Category:代数不等式]]