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[[File:Chebyshev bias.svg|thumb|直至<math>n\le30000</math>為止的<math>\pi(x;4,3)-\pi(x;4,1)</math>的值。]]

在[[數論]]上，'''切比雪夫偏差'''（Chebyshev's bias）指的是說在多數時候，在給定的界限下，除4餘3的質數個數，會多於除4餘1的質數的現象。這現象最早由[[帕夫努季·切比雪夫]]於1853年觀察到。

==敘述==
設<math>\pi(x;n,m)</math>為不大於{{math|x}}且形如<math>nk+m</math>的質數的數量，那麼根據[[質數定理]]在[[算數數列中的質數|算術數列上]]的推廣，有以下關係：

:<math>\pi(x;4,1)\sim\pi(x;4,3)\sim \frac{1}{2}\frac{x}{\log x}.</math>

也就是說，大約一半的質數除4餘1，另外一半則是除4餘3的。因此一個合理的猜測是<math>\pi(x;4,1) > \pi(x;4,3)</math>跟<math>\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)</math>的發生率大約相等；然而這點並不受數據支持，實際上，<math>\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)</math>遠遠更常發生。像例如說對於所有小於26833且不等於5、17、41及461的{{math|x}}而言，<math>\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)</math>，而在{{math|x}}等於5、17、41及461的狀況下，則有<math>\pi(x;4,3) = \pi(x;4,1)</math>；而第一個使得<math>\pi(x;4,1) > \pi(x;4,3)</math>的{{math|x}}是26861，也就是說，對於任意的{{math|x < 26861}}而言，<math>\pi(x;4,3) \ge \pi(x;4,1)</math>。

更一般地，若<math>0 < a,b < n</math>是整數，其彼此的最大公因數有<math>\gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1</math>這樣的關係，且{{math|a}}為模{{math|n}}的二次剩餘{{math|a}}為模{{math|n}}的二次非剩餘，那麼<math>\pi(x;n,b) > \pi(x;n,a)</math>是更常發生的。這點只有在假定強形式的[[黎曼猜想]]成立的狀況下得證。

{{link-en|Stanisław Knapowski|Stanisław Knapowski|Knapowski}}和[[圖蘭·帕爾|圖蘭]]兩氏曾提出更強的猜想，認為使得<math>\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)</math>成立的{{math|x}}的[[自然密度|密度]]為一，也就是說<math>\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)</math>對[[幾乎所有]]的{{math|x}}成立；然而這兩氏提出的猜想已被否證；而實際上使之成立的數的[[對數密度]]大約為{{math|0.9959....}}。<ref>(Rubinstein—Sarnak, 1994)</ref>

==推廣==
相關的問題可轉化成對於<math>k=-4</math>而言，使得<math>\sum_{q \le p,\ q\ \text{is prime}}\left(\frac{k}{q}\right)>0</math>成立的最小質數{{math|p}}，其中<math>\left(\frac{m}{n}\right)</math>是[[克羅內克符號]]；然而對於任意給定的不為零的{{math|k}}（不僅是<math>k=-4</math>），也能找使上式成立的最小質數{{math|p}}。從質數定理可知，對於任意非零的整數{{math|k}}，有無限多個質數{{math|p}}滿足此條件。

對於正整數<math>k=1,2,3,\cdots</math>而言，最小質數{{math|p}}如下所示：

:2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... （{{oeis|A306499}}是{{oeis|A003658}}對於<math>k=1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, \cdots</math>的子序列）

對於負整數<math>k=1,2,3,\cdots</math>而言，最小質數{{math|p}}如下所示：

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... （{{oeis|A306500}}是{{oeis|A003657}}對於<math>k = -3, -4, -7, -8, -11, -15, -19, -20, -23, -24, -31, -35, -39, -40, -43, -47, -51, -52, -55, -56, -59, \cdots</math>的子序列）

對於任意非平方整數{{math|k}}而言，多數時候，在給定的界限下，使得<math>\left(\frac{k}{p}\right)=-1</math>的質數{{math|p}}會多於使得<math>\left(\frac{k}{p}\right)=1</math>質數{{math|p}}。

==延伸至高次剩餘==
設{{math|m}}和{{math|n}}是兩個彼此互質的正整數，那麼可定義以下函數：

:<math display=block>f(m,n)=\sum_{p \text{ is prime, } p\,\mid\,\varphi(n),\ x^p \,\equiv\, m \pmod n \text{ has a solution }} \left(\frac{1}{p}\right)</math>

其中<math>\varphi</math>是[[歐拉函數]]。

這函數的一些數值如次：<math>f(1, 5) = f(4, 5) = 1/2, f(2, 5) = f(3, 5) = 0, f(1, 6) = 1/2, f(5, 6) = 0, f(1, 7) = 5/6, f(2, 7) = f(4, 7) = 1/2, f(3, 7) = f(5, 7) = 0, f(6, 7) = 1/3, f(1, 8) = 1/2, f(3, 8) = f(5, 8) = f(7, 8) = 0, f(1, 9) = 5/6, f(2, 9) = f(5, 9) = 0, f(4, 9) = f(7, 9) = 1/2, f(8, 9) = 1/3</math>。

目前有猜想認為，若若<math>0 < a,b < n</math>是整數，其彼此的最大公因數有<math>\gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1</math>這樣的關係，且同時<math>f(a,n) > f(b,n)</math>成立，那麼<math>\pi(x;n,b) > \pi(x;n,a)</math>是更常發生的。

==參考資料==
{{reflist}}
* P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4''n''&nbsp;+&nbsp;1  et 4''n''&nbsp;+&nbsp;3, ''Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg'', '''11''' (1853), 208.
* {{cite journal
|first1=Andrew
|last1=Granville
|author1-link=Andrew Granville
|first2=Greg
|last2=Martin
|title=Prime number races
|journal=[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]
|volume=113
|year=2006
|issue=1
|pages=1–33
|doi=10.1080/00029890.2006.11920275
|jstor=27641834|s2cid=3846453
}}
* J. Kaczorowski: On the distribution of primes&nbsp;(mod&nbsp;4), ''Analysis'', '''15''' (1995), 159–171.
* S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory, I, ''[[Acta Mathematica Hungarica|Acta Math. Acad. Sci. Hung.]]'',  '''13''' (1962), 299–314.
* {{Cite journal
|first1=M.
|last1= Rubinstein
|first2= P.
|last2= Sarnak
|title= Chebyshev's bias
|journal=[[Experimental Mathematics (journal)|Experimental Mathematics]]
|volume=3
|year= 1994
|issue= 3
|pages= 173–197
|doi=10.1080/10586458.1994.10504289
}}
==外部連結==
* {{MathWorld|title=Chebyshev Bias|id=ChebyshevBias}}
* {{OEIS|A007350}}─給出除4餘3的質數個數和除4餘1的質數相對個數彼此交換的點的列表
* {{OEIS|A007352}}─給出除3餘1的質數個數和除3餘2的質數相對個數彼此交換的點的列表

[[Category:解析數論定理]]
[[Category:素數]]