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{{Otheruses|切比雪夫總和不等式|subject=[[概率論]]的'''切比雪夫不等式'''|other=牽涉到級數的[[不等式]]}}

'''切比雪夫不等式'''（{{lang-en|Chebyshev's Inequality}}），是[[概率论]]中的一个不等式，顯示了[[隨機變量]]的「幾乎所有」值都會「接近」[[平均]]。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（{{lang|en|Bienaymé Inequality}}）或比奈梅-切比雪夫不等式（{{lang|en|Bienaymé-Chebyshev Inequality}}）。切比雪夫不等式对任何分布数据都适用。

切比雪夫不等式可表示为以下形式：对于任何[[随机变量]] <math>X</math> 和实数 <math>b>0</math>，都有 <math>P(|X-E(X)|\geq b)\le\frac{Var(X)}{b^2}</math>，其中 <math>E(X)</math> 表示 <math>X</math> 的[[数学期望]]，<math>Var(X)</math> 为 <math>X</math> 的[[方差]]。

== 概念 ==
這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
* 與平均相差2個[[標準差]]以上的值，數目不多於1/4
* 與平均相差3個標準差以上的值，數目不多於1/9
* 與平均相差4個標準差以上的值，數目不多於1/16
……
* 與平均相差k個標準差以上的值，數目不多於1/k<sup>2</sup>

舉例說，若一班有36個學生，而在一次考試中，平均分是80分，標準差是10分，我們便可得出結論：少於50分或多於110分（與平均相差3個標準差以上）的人，數目不多於4個（=36*1/9）。<br />
公式：<math>P(\mu - k \sigma < X < \mu + k \sigma) \ge 1- \frac{1}{k^2}</math>

==推论==
===測度論說法===
設(''X'',Σ,μ)為一[[測度空間]]，''f''為定義在''X''上的[[廣義實數集|廣義實]]值[[可測函數]]。對於任意[[實數]]''t'' > 0，

:<math>\mu(\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t^2} \int_X f^2 \, d\mu.</math>

一般而言，若''g''是非負廣義實值可測函數，在''f''的定義域非降，則有

:<math>\mu(\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\}) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.</math>

上面的陳述，可透過以|''f''|取代''f''，再取如下定義而得：

:<math>g(t)=\begin{cases}t^2&\mbox{if }t\geq0\\0&\mbox{otherwise,}\end{cases}</math>

===概率論說法===
設<math>X</math>為隨機變量，[[期望值]]為<math>\mu</math>，[[标准差]]為<math>\sigma</math>。對於任何實數k>0，
:<math>\Pr(\left|X-\mu\right|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}.</math>

===改進===
一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無法改進。考慮下面例子：
: <math>\Pr(X = 1) = \Pr(X = -1) = 1/(2k^2)</math>
: <math>\Pr(X = 0) = 1 - 1/k^2</math>
這個分布的[[標準差]]<math>\sigma = 1/k</math>，<math>\mu=0</math>。

对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 <math>1-1/k^2</math> 的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。

當只求其中一邊的值的時候，有'''Cantelli不等式'''：
:<math>\Pr(X-\mu \geq k\sigma)\leq\frac{1}{1+k^2}.</math>[http://www.mcdowella.demon.co.uk/Chebyshev.html] {{Wayback|url=http://www.mcdowella.demon.co.uk/Chebyshev.html |date=20190224000121 }}

==證明==
定義<math>~A_t := \{x \in X \mid f(x) \geq t\}</math>，設<math>1_{A_t}</math>為集<math>~A_t</math>的[[指示函数]]，有
:<math>0\leq g(t) 1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f,</math>
:<math>g(t)\mu(A_t)=\int_X g(t)1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t} g\circ f\,d\mu\leq\int_X g\circ f\,d\mu.</math>

又可從[[馬爾可夫不等式]]直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變量''Y''和正數''a''有<math>\Pr(|Y|>a) \le \operatorname{E}(|Y|)/a</math>。取<math>Y=(X-\mu)^2</math>及<math>a=(k \sigma)^2</math>。

亦可從概率論的原理和定義開始證明：
::<math>\Pr(|X-\mu| \geq k\sigma) = \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq k\sigma})
= \operatorname{E}(I_{[(X-\mu)/(k\sigma)]^2 \geq 1})</math> 

:<math>\leq \operatorname{E}\left( \left( {X-\mu \over k\sigma} \right)^2 \right)
= {1 \over k^2} {\operatorname{E}((X-\mu)^2) \over \sigma^2} = {1 \over k^2}.</math>

==參見==
*[[馬爾可夫不等式]]
*[[弱大數定律]]
*[[大數定律]]

==参考来源==
*《基本統計學 觀念與應用二版》，林惠玲 陳正倉 著
*《應用統計學 第四版》 修訂版，林惠玲 陳正倉 著


{{統計學}}
[[Category:概率論]]
[[Category:概率不等式]]
[[Category:统计学定律]]