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在'''數學'''中，'''分離態射'''是[[概形]]間一類具良好幾何性質的態射，由此可定義'''分離概形'''。在[[亞歷山大·格羅滕迪克]]的著作中，原將一般的概形稱作預概形（préschéma），而將分離概形稱作概形；1967年左右改稱現名。

==定義==
設<math>X, S</math>為概形。一個態射<math>f: X \rightarrow S</math>被稱作'''分離態射'''，若且唯若它所給出的對角映射<math>\Delta: X \rightarrow X \times_S X</math>是閉浸入。

由此可定義<math>S</math>上的'''分離概形'''。若取<math>S</math>為終對象<math>\mathrm{Spec}\mathbb{Z}</math>，可定義絕對的分離概形。

==性質探討==
從分離性可推出：設<math>X \rightarrow S</math>分離，對任何<math>\mathbf{Sch}_{/S}</math>裡的態射<math>f,g: Y \rightarrow X</math>，若 <math>f</math> 與 <math>g</math> 在一個稠密開集上相等，則<math>f=g</math>。準此，可視分離概形為[[豪斯多夫空間]]在概形論裡的推廣。

根據定義，分離性僅與拓撲有關：<math>f: X \rightarrow S</math>分離若且唯若<math>f_\mathrm{red}: X_\mathrm{red} \rightarrow Y_\mathrm{red}</math>分離。[[群概形]]都是分離的（考慮映射<math>(x,y) \mapsto x^{-1}y</math>）。此外；仿射概形皆屬分離概形。

另一個有用的性質是：若<math>S</math>是仿射概形，<math>X</math>是<math>S</math>上的分離概形，且<math>U, V \subset X</math>是仿射開集，則<math>U \cap V</math>亦是仿射開集。

下述常見態射都是分離的：
* 概形間的'''單射'''（包括開浸入與閉浸入）都是分離態射
* 分離態射的'''合成'''仍是分離態射
* 分離態射'''換底'''後仍是分離態射
* 若<math>f: X \rightarrow Y, g: X' \rightarrow Y'</math>是分離態射，其'''積'''<math>f \times_S g: X \times_S X' \rightarrow Y \times_S Y'</math>亦然。
* 若<math>g \circ f</math>是分離態射，則<math>f</math>是分離態射。
* '''射影態射'''是分離態射

於是乎'''擬射影態射'''都是分離的，這涵蓋了經典代數幾何裡的所有對象。但在概形論中，我們可透過黏合造出非分離概形；研究函子的可表性時（特別是模空間的研究）亦須仔細處理分離性。

==賦值判準==

分離性與豪斯多夫性質的類比給出另一種刻劃。設所論概形都是局部諾特概形。僅須處理<math>Y</math>是一維時的情形，透過一些代數的論證，可化約到<math>Y = \mathrm{Spec}(R)</math>，其中<math>R</math>是個[[賦值環|離散賦值環]]之情形；此時態射的唯一延拓性譯為下述陳述：

: 設<math>X, Y</math>都是局部諾特概形，<math>f: X \rightarrow Y</math>是局部有限型態射，下述陳述等價：
:*<math>f</math> 是分離態射。
:* 對任何形如<math>Y' := \mathrm{Spec}(R)</math>的<math>Y</math>-概形，其中<math>R</math>是離散賦值環，設<math>K</math>為<math>R</math>的分式環；若兩個<math>Y</math>-態射<math>f,g : Y' \rightarrow X</math>拉回至<math>\mathrm{Spec}(K)</math>相等，則有<math>f=g</math>。

==文獻==
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1960
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 4
 | pages = 5-228
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1960__4_
 | access-date = 2020-12-21
 | archive-date = 2016-03-06
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160306015028/http://numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=pmihes_1960__4_
 | dead-url = no
 }}
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1961
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 8
 | pages = 5-222
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
 | access-date = 2020-12-21
 | archive-date = 2017-01-12
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170112024503/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
 | dead-url = no
 }}

[[Category:代數幾何|F]]