查看“︁分配上半格”︁的源代码

{{noteTA
|G1=数学
}}
在[[序理论]]中，'''分配并半格'''（{{lang-en|distributive join-semilattice}}）和'''分配交半格'''（{{lang|en|distributive meet-semilattice}}）是[[分配格]]到[[半格]]的推广。与[[分配格]]不同，分配并（交）半格不再是使用像[[分配律]]一样的[[恒等式]]来定义，而通过[[恒等式]]定义实际上也是不可能做到的。<ref name="Ertola-Biraben" />

== 定义 ==
对于[[并半格]]<math>(S,\vee)</math>（任两元具有[[上确界]]<math>a\vee b</math>的[[偏序集]]），以下条件等价，满足此条件的并半格称为'''分配并半格'''。
* 对于任意<math>a,b,c\in S</math>，如果<math>c\le a\wedge b</math>，那么存在<math>a'\le a</math>和<math>b'\le b</math>使得<math>c=a'\wedge b'</math>。
* <math>S</math>的[[序理想]]构成的[[并半格]]<math>\operatorname{Ideal}(L)</math>是[[分配格]]。<ref name="Grätzer">{{cite book
|first1=George
|last1=Grätzer
|title=Lattice Theory: Foundation
|language=en
|publisher=Springer
|location=Basel
|date=2011
|isbn=978-3-0348-0017-4
|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1
|mr=2768581
|zbl=1233.06001
|lccn=2011921250
}}</ref>{{rp|167, Lemma 184(iii)}}
对偶地可以定义'''分配交半格'''。

== 性质 ==
在分配并半格中，任意两个元素都有[[下界]]。<ref name="Grätzer" />{{rp|167, Lemma 184(ii)}}

与[[分配格]]不同，分配并半格的[[类 (数学)|类]]不关于子代数封闭，从而不构成[[簇 (泛代数)|簇]]。其实，任何由[[并半格]]构成的[[簇 (泛代数)|簇]]都不能推广[[分配格]]到[[并半格]]，也就是不能使其对于[[格 (数学)|格]]的情形与[[分配格]]一致。<ref name="Ertola-Biraben">{{cite book
|first1=Rodolfo C.
|last1=Ertola-Biraben
|first2=Francesc
|last2=Esteva
|first3=Lluís
|last3=Godo
|chapter=On distributive join semilattices
|editor-first1=D.
|editor-last1=Fazio
|editor-first2=A.
|editor-last2=Ledda
|editor-first3=F.
|editor-last3=Paoli
|title=Algebraic Perspectives on Substructural Logics
|language=en
|series=Trends in Logic
|volume=55
|publisher=Springer
|location=Cham
|date=2021
|isbn=978-3-030-52162-2
|doi=10.1007/978-3-030-52163-9_3
|mr=4175062
|zbl=07326288
|arxiv=1902.01656
}}</ref>

== 例 ==
对于[[格 (数学)|格]]<math>(L,\vee,\wedge)</math>，以下条件等价。
* [[并半格]]<math>(L,\vee)</math>是分配并半格。
* [[格 (数学)|格]]<math>(L,\vee,\wedge)</math>是[[分配格]]。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[分类:格理论]]