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[[File:Separation axioms illustrated.png|thumb|alt=Illustrations of the properties of Hausdorffness, regularity and normality|某些分離公理的圖示。藍色區塊代表一個開集，紅色方塊代表一個閉集，且黑色圓圈則代表一點。]]

在[[拓扑学]]及相关的[[数学]]领域裡，通常对于所讨论的[[拓扑空间]]加有各种各样的限制条件，'''分离公理'''即是指之中的某些限制條件。这些分离公理有时候被叫做'''吉洪诺夫分离公理'''，得名于[[安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪諾夫]]。部分分離公理以字母'''T'''開頭，是由德文单词“Trennung”而來，意義是'''分离'''。

分離公理之所以稱為[[公理]]，是因為以前定義[[拓撲空間]]時，有些人會將其也做為公理來定義，而得出較現在意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的[[公理化]]完成後，那些都成了「各種」的拓撲空間。然而，「分離公理」這一詞就這樣固定了下來。

== 初步定义 ==

在定义分离公理之前，讓我们先了解在[[拓扑空间]]中，可分离的集合(和点)的具体含意。（須注意的是，可分离的集合不一定等同于下一節所定义的「分离空间」。）

分離公理是利用拓撲的方法來分辨[[不交集|不相交]]的集合及相區別的點。不只要拓撲空間內的元素是相區別的，更要這些元素是「拓撲可區別的」；不只要拓撲空間內的[[子集]]是不相交的，更要這些子集是（以某种方式）「可分離的」。分離公理聲稱，無論如何，若點或集合在某些較弱意思下是可區別的或可分離的，也必須在某些較強的意思下是可區別或可分離的。

设<math>X</math>為一拓扑空间，<math>A,B \subseteq X</math>，<math>\mathbb{R}</math>是实数集，定义：
;拓扑可区分
:<math>A,B</math>称为'''拓扑可区分的'''，当且仅当<math>A,B</math>的[[邻域系]]<math>U(A)</math>和<math>U(B)</math>不相等（即，存在某个<math>A</math>的邻域，不是<math>B</math>的邻域，或反之）。
;可分离
:<math>A,B</math>稱為'''可分離的'''，当且仅当<math>A \cap \bar{B}</math>和<math>\bar{A} \cap B</math>都为空。（<math>\bar{A}</math>是<math>A</math>的[[閉包 (拓撲學)|闭包]]）。注意：<math>\bar{A} \cap \bar{B}</math>可以不为空。
;邻域可分离
:<math>A,B</math>称为'''邻域可分离的'''，当且仅当存在<math>A</math>的邻域<math>U</math>和<math>B</math>的邻域<math>V</math>，使得<math>U \cap V</math>为空。
;闭邻域可分离
:<math>A,B</math>称为'''闭邻域可分离的'''，当且仅当存在<math>A</math>的闭邻域<math>U</math>和<math>B</math>的闭邻域<math>V</math>，使得<math>U \cap V</math>为空。
;函数可分离
:<math>A,B</math>称为'''函数可分离的'''，当且仅当存在[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]]<math>f:X \to \mathbb{R}</math>，使得<math>f(A)=\{0\}</math>，<math>f(B)=\{1\}</math>。
;函数完全分离
:<math>A,B</math>称为'''函数完全分离的'''，当且仅当存在[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]]<math>f:X \to \mathbb{R}</math>，使得<math>f^{-1}(\{0\})=A</math>，<math>f^{-1}(\{1\})=B</math>。

对于<math>X</math>中的点<math>x,y</math>（或点<math>x</math>和子集<math>A</math>），称它们为拓扑可分，可分离，邻域可分离等等，当且仅当[[单元素集合]]<math>\{x\}</math>和<math>\{y\}</math>（或<math>\{x\}</math>和子集<math>A</math>）是拓扑可分，可分离，邻域可分离等等。

以上这些条件是按强度依序给出的：任何两个拓扑可区分的点也必然是相區分的，任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更進一步地說，任何两个可分离的集合也必然是不相交的，任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的，以此类推。

上述条件更詳細的敘述(包括分离公理外的用途)，请参见[[分离集合]]和[[拓扑不可区分性]]等條目。

==主要定义==
下面的定義都會直接使用到上面的初步定義。

大部份的分離公理都會有另一個等價的定義。下面所給出的定義會維持一致的模式，以和上一節所定義的許多分離的概念相連結。其他等價的定義則分別寫在個別的條目之中。

在下面所有的定義之中，''X''是一個[[拓撲空間]]，所有的函數都假設為連續的。

* ''X''稱為[[T0空間|T<sub>0</sub>空间]]或「柯尔莫果洛夫空间」，若在''X''內，任意兩個相區別的點皆為[[拓撲可區分性|拓撲可區分的]]。

* ''X''稱為[[R0空间|R<sub>0</sub>空间]]或「对称空间」，若在''X''內，任意两个拓扑可区分的点都是可分离的。

* ''X''稱為[[T1空间|T<sub>1</sub>空间]]、「可及空間」或「弗雷歇空間」，若在''X''內，任意兩個相區別的點都是可分離的。''X''為T<sub>1</sub>空間，若且唯若''X''同時為T<sub>0</sub>及R<sub>0</sub>空間。

* ''X''稱為[[R1空间|R<sub>1</sub>空间]]或「预正则空间」，若在''X''內，任意两个拓扑可区分的点都是邻域上可分离的。R<sub>1</sub>空间必然也是R<sub>0</sub>空间。

* ''X''稱為[[T2空間|T<sub>2</sub>空间]]或「豪斯多夫空间」，若在''X''內，任意兩個相區別的點都是鄰域上可分離的。''X''為豪斯多夫空間，若且唯若''X''同時為T<sub>0</sub>及R<sub>1</sub>空間。豪斯多夫空間必然也是T<sub>1</sub>空間。

* ''X''稱為[[烏雷松空間|T<sub>2½</sub>空間]]或「烏雷松空間」，若在''X''內，任意兩個相區別的點都是閉鄰域上可分離的。T<sub>2½</sub>空間必然也是豪斯多夫空間。

* ''X''稱為[[完全豪斯多夫空間]]或「完全T<sub>2</sub>空間」，若在''X''內，任意兩個相區別的點都是函數上可分離的。完全豪斯多夫空間必然也是T<sub>2½</sub>空間。

* ''X''稱為[[正則空間]]，若在''X''內，給定一點''x''及一閉集''F''，則若''x''不屬於''F''，''x''和''F''即為鄰域上可分離的（實際上，在一個正則空間裡，''x''和''F''也同樣會是閉鄰域上可分離的）。正則空間必然也是R<sub>1</sub>空間。

* ''X''稱為[[正則豪斯多夫空間]]或「T<sub>3</sub>空間」，若''X''同時為T<sub>0</sub>及正則空間。正則豪斯多夫空間必然也是T<sub>2½</sub>空間。

* ''X''稱為[[完全正則空間]]，若在''X''內，給定一點''x''及一閉集''F''，則若''x''不屬於''F''，''x''和''F''即為函數上可分離的。完全正則空間必然也是正則空間。

* ''X''稱為[[吉洪諾夫空間]]、「T<sub>3½</sub>空間」、「完全T<sub>3</sub>空間」或「完全正則豪斯多夫空間」，若''X''同時為T<sub>0</sub>及完全正則空間。吉洪諾夫空間必然同時也是正則豪斯多夫空間及完全豪斯多夫空間。

* ''X''稱為[[正規空間]]，若在''X''內，任意兩個相區別的閉子集都是鄰域上可分離的（實際上，在正規空間裡，任意兩個相區別的閉子集也同樣會是函數上可分離的；這稱為[[烏雷松引理]]）。

* ''X''稱為[[正規豪斯多夫空間]]或「T<sub>4</sub>空間」，若''X''同時為T<sub>1</sub>及正規空間。正規豪斯多夫空間必然同時也是吉洪諾夫空間及正規正則空間。

* ''X''稱為[[完全正規空間]]，若在''X''內，任意兩個相區別的子集都是鄰域上可分離的。完全正規空間必然也是正規空間。

* ''X''稱為[[完全正規豪斯多夫空間]]、「T<sub>5</sub>空間」或「完全T<sub>4</sub>空間」，若''X''同時為完全正規及T<sub>1</sub>空間。完全正規豪斯多夫空間必然也是正規豪斯多夫空間。

* ''X''稱為[[完美正規空間]]，若在''X''內，任意兩個相區別的閉子集都是函數上完全分離的。完美正規空間必然也是完全正規空間。

* ''X''稱為[[完美正規豪斯多夫空間]]、「T<sub>6</sub>空間」或「完美T<sub>4</sub>空間」，若''X''同時為完美正規及T<sub>1</sub>空間。完美正規豪斯多夫空間必然也是完全正規豪斯多夫空間。

== 各空間之間的關係 ==

T<sub>0</sub>空間很特別，因為它不只可以當做一個性質加在其他空間上（如完全正則空間加上T<sub>0</sub>即為吉洪諾夫空間），也可以由某個空間中刪去此一性質（如豪斯多夫空間刪去T<sub>0</sub>即為R<sub>1</sub>空間）；更多資訊請見[[柯爾莫果洛夫商空間]]。當其應用在分離公理時，便會導致如下表所列的關係：
{| class="wikitable"
!T<sub>0</sub>版本 || 無T<sub>0</sub>版本
|-
|T<sub>0</sub> || －
|-
|T<sub>1</sub> || R<sub>0</sub>
|-
|豪斯多夫(T<sub>2</sub>) || R<sub>1</sub>
|-
|T<sub>2½</sub> || 無給定名稱
|-
|完全豪斯多夫 || 無給定名稱
|-
|正則豪斯多夫(T<sub>3</sub>) || 正則
|-
|吉洪諾夫(T<sub>3½</sub>) || 完全正則
|-
|正規T<sub>0</sub> || 正規
|-
|正規豪斯多夫(T<sub>4</sub>) || 正規正則
|-
|完全正規T<sub>0</sub> || 完全正規
|-
|完全正規豪斯多夫(T<sub>5</sub>) || 完全正規正則
|-
|完美正規T<sub>0</sub> || 完美正規
|-
|完美正規豪斯多夫(T<sub>6</sub>) || 完美正規正則
|}
在表中，利用柯爾莫果洛夫商空間運算，右邊的空間加上T<sub>0</sub>即為左邊的空間，左邊的空間刪去T<sub>0</sub>即為右邊的空間。

除了T<sub>0</sub>的加上及刪去之外，各空間之間的關係則可由下圖指明出來：

[[Image:Separation axioms.png|300px|center|Hasse diagram of the separation axioms.]]

在圖中，無T<sub>0</sub>版本的空間在斜線的左邊，T<sub>0</sub>版本的空間則在斜線的右邊。之中的字母代表的意思：
P為完美（perfectly）、C為完全（completely）、N為正規（normal）、R為正則（regular）。
黑點代表該空間沒有給定名稱。

結合兩個空間的性質最後會產生的空間可由上圖得知，只要看兩點向上的分支會交會在哪一點即可。例如，若有一個空間同時為完全正規（CN）及完全豪斯多夫（CT<sub>2</sub>）空間，則查看兩點向上的分支，會發覺為「•/T<sub>5</sub>」。因為完全豪斯多夫空間為斜邊的T<sub>0</sub>端（即使完全正規空間不是），最後得到的空間便會在斜邊的T<sub>0</sub>端。亦即，完全正規完全豪斯多夫空間即為T<sub>5</sub>空間。

再看一次上圖，正規空間及R<sub>0</sub>空間結合在一起，由於會經過許多右側的分支，也意指會產生許多兩個空間所沒有的其他性質。因為正則性是之中最為人知的性質，結合正規空間及R<sub>0</sub>空間而成的空間一般稱為「正規正則空間」。基於類似的想法，正規T<sub>1</sub>空間通常稱為「正規豪斯多夫空間」。上述的慣用名稱可以延伸至其他正則空間與豪斯多夫空間之上。

== 参考文献 ==
* Michael C. Gemignani; <cite>Elementary Topology</cite>; ISBN 0486665224 
* Schechter, Eric; 1997; <cite>Handbook of Analysis and its Foundations</cite>; Publisher: Academic Press; https://web.archive.org/web/20150307061351/http://www.math.vanderbilt.edu/%7Eschectex/ccc/
** 包含 R<sub>''i''</sub> 公理（及其他）
* Stephen Willard, ''General Topology'', Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
** 包含本條目除 R<sub>''i''</sub>  以外之公理和定義
* There are several other good books on [[general topology]], but beware that some use slightly different definitions.

{{点集拓扑}}
[[Category:分离公理|*]]
[[Category:点集拓扑学|F]]