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'''分段回归'''是一种[[回归分析]]方法，将自变量划为若干区间，并分别拟合出单独的线段。通过对各种自变量分区，也可以对多元数据进行分区回归分析。自变量聚类为不同组别时，这些区域的变量之间会表现出不同的关系，这时分段回归就非常有用。分段之间的界限就是间断点。

'''分段线性回归'''就是分段回归，通过[[线性回归]]得到区间内的关系。

==2段线性回归==
[[File:SegReg3.gif|thumb|300px|第一段水平]]
[[File:SegReg1.gif|thumb|300px|第一段上升]]
[[File:SegReg2.gif|thumb|300px|第一段下降]]

分2段线性回归的段间有1个间断点，可用来量化影响因素（x）变化的响应函数（Yr）的突然变化。间断点可解释为临界值、安全值或阈值，过该值会产生（非）预期效果。间断点对决策非常重要。<ref>''Frequency and Regression Analysis''. Chapter 6 in: H.P.Ritzema (ed., 1994), ''Drainage Principles and Applications'', Publ. 16, pp. 175-224, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. {{ISBN|90-70754-33-9}} . Free download from the webpage [http://www.waterlog.info/articles.htm] {{Wayback|url=http://www.waterlog.info/articles.htm |date=20200805170344 }} , under nr. 20, or directly as PDF : [http://www.waterlog.info/pdf/regtxt.pdf] {{Wayback|url=http://www.waterlog.info/pdf/regtxt.pdf |date=20110722012618 }}</ref>

这些图表说明了可获得的一些结果和回归类型。

分段回归分析基于一组( '''y, x''' )数据，其中'''y'''是因变量，'''x'''是自变量。

[[最小二乘法]]分别适用于每个分段，通过这种方法，两条回归线可以分别拟合数据集，同时使因变量观测值（y）与计算值（Yr）之间的差值平方和（SSD）最小化：

* Yr = A<sub>1</sub>.'''x''' + K<sub>1</sub> &nbsp; &nbsp; 其中'''x''' < BP（间断点）
* Yr = A<sub>2</sub>.'''x''' + K<sub>2</sub> &nbsp; &nbsp; 其中'''x''' > BP（间断点）
其中<br>
:Yr是一定值x下y的期望（预测）值；
:A<sub>1</sub>、A<sub>2</sub>是[[回归系数]]（表示线段斜率）；
:K<sub>1</sub>、K<sub>2</sub>是回归常数（表示y轴截距）。

数据可能显示多种类型或趋势，<ref>'' Drainage research in farmers' fields: analysis of data''. Part of project "Liquid Gold" of the International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. Download as PDF : [http://www.waterlog.info/pdf/analysis.pdf] {{Wayback|url=http://www.waterlog.info/pdf/analysis.pdf |date=20110722011948 }}</ref>见图。

该方法还能得到2个[[皮尔逊积矩相关系数|相关系数]]（R）：
*<math>R_1 ^ 2 = 1 - \frac{\sum (y - Y_r) ^ 2 }{ \sum (y - Y_{a1})^2}</math> &nbsp; &nbsp; 其中'''x''' < BP（间断点）
及
*<math>R_2 ^ 2 = 1 - \frac{\sum (y - Y_r) ^ 2 }{ \sum (y - Y_{a2})^2}</math>  &nbsp; &nbsp; 其中'''x''' > BP（间断点）
其中<br>
: <math> \sum (y - Y_r) ^2 </math>是每段的最小化SSD
，而
:<big>Y<sub>a1</sub></big>、<big>Y<sub>a2</sub></big>是各自区间y的均值。

在确定最合适的趋势时，必须进行[[统计检验]]，以确保趋势可靠（显著）。

如果无法检测到明显的断点，则必须采用无断点回归。

==例子==
[[File:Mustard_segm_regr_least_squares.png|thumb|350px|分段线性回归，3b型]]
右边的蓝色图给出了芥菜产量（Yr = Ym, t/ha）和[[土壤盐化]]（'''x''' = Ss，用土壤溶液导电率EC表示，单位为dS/m）之间的关系：<ref>R.J.Oosterbaan, D.P.Sharma, K.N.Singh and K.V.G.K.Rao, 1990, ''Crop production and soil salinity: evaluation of field data from India by segmented linear regression''. In: Proceedings of the Symposium on Land Drainage for Salinity Control in Arid and Semi-Arid Regions, February 25th to March 2nd, 1990, Cairo, Egypt, Vol. 3, Session V, p. 373 - 383.</ref>

BP = 4.93, A<sub>1</sub> = 0, K<sub>1</sub> = 1.74, A<sub>2</sub> = &minus;0.129, K<sub>2</sub> = 2.38, R<sub>1</sub><sup>2</sup> = 0.0035（不显著）, R<sub>2</sub><sup>2</sup> = 0.395（显著），以及：
* Ym = 1.74 t/ha &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;对于Ss < 4.93（断点）
* Ym = &minus;0.129 Ss + 2.38 t/ha &nbsp; &nbsp; 对于Ss > 4.93（断点）
表明土壤盐度< 4.93 dS/m是安全的，而土壤盐度> 4.93 dS/m则会使土壤盐度每增加一个单位减产0.129 t/ha。

下图还显示了置信区间和不确定性。

==测试程序==
[[File:CHAO.png|thumb|350px|时间序列实例，5型]]
[[File:SegReg_Anova_Table.png|thumb|350px|ANOVA表示例：本例中引入断点非常重要。]]
以下统计检验用于确定趋势类型：
# 将BP表示为回归系数A<sub>1</sub>、A<sub>2</sub>与y数据均值Y<sub>1</sub>、Y<sub>2</sub>，以及x数据均值X<sub>1</sub>、X<sub>2</sub>（BP的左右），利用加法和乘法的[[误差传播]]规律计算BP的[[标准差]]（SE），并应用[[T检验]]，从而确定断点（BP）的显著性
# 应用T分布和A<sub>1</sub>、A<sub>2</sub>的标准差SE，检验A<sub>1</sub>、A<sub>2</sub>的显著性
# 利用A<sub>1</sub>、A<sub>2</sub>差的SE，采用T分布检验差的显著性
# 利用Y<sub>1</sub>、Y<sub>2</sub>差的SE，运用T分布检验差的显著性
#检验是否有断点的一种更正式的统计方法是伪分数检验，无需估计分段线。<ref>{{Cite journal|last=Muggeo|first=VMR|date=2016|title=Testing with a nuisance parameter present only under the alternative: a score-based approach with application to segmented modelling|journal=Journal of Statistical Computation and Simulation|volume=86|issue=15|pages=3059–3067|doi=10.1080/00949655.2016.1149855|s2cid=124914264 |url=https://figshare.com/articles/journal_contribution/2747764/files/4428298.pdf}}</ref>
此外，还使用了所有数据的[[皮尔逊积矩相关系数|相关系数]](Ra)、[[决定系数]]或解释系数、回归函数的[[信赖区间]]及[[方差分析|ANOVA]]分析。<ref>''Statistical significance of segmented linear regression with break-point using variance analysis and F-tests''. Download from [http://www.waterlog.info/faqs.htm] {{Wayback|url=http://www.waterlog.info/faqs.htm |date=20180707230645 }} under nr. 13, or directly as PDF : [http://www.waterlog.info/pdf/anova.pdf] {{Wayback|url=http://www.waterlog.info/pdf/anova.pdf |date=20230606224257 }}</ref>
在显著性检验设定的条件下，所有数据的决定系数(Cd)应达到最大值，其计算公式为
*<math>C_d=1-{\sum (y-Y_r)^2\over\sum (y-Y_a)^2}</math>
其中Yr是根据前回归方程得出的'''y'''的预期（预测）值，Ya是所有'''y'''值的均值。

Cd系数介于0（完全没有解释）和1（完全解释，完全匹配）之间。<br>
在纯粹的非分段线性回归中，Cd=Ra<sup>2</sup>。在分段回归中，Cd要明显大于Ra<sup>2</sup>才能证明分段的合理性。

可找到断点的[[最优化|最优]]值，使Cd系数得[[极值|极大值]]。

==无效应范围==

[[File:Mustard_segm_regr_no_effect.png|thumb|right|350px|X=0到X=7.85之间没有影响的范围]]
分段回归常用于检测解释变量(X)对因变量(Y)无效应的范围。
无效应范围可能在X域的前部，也可能在后部。对于“无效应”分析，应用[[最小二乘法]]进行分段回归分析<ref>Segmented regression analysis, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. Free download from the webpage [http://www.waterlog.info/segreg.htm] {{Wayback|url=http://www.waterlog.info/segreg.htm |date=20100213094246 }}</ref>可能不是最合适的技术，因为其目的是找到Y-X关系可被视为零斜率的最长延伸段，在之外，斜率与零有显著差异，但有关该斜率最佳值的知识并不重要。找到无效应范围的方法是对该范围进行渐进式部分回归<ref>Partial Regression Analysis, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. Free download from the webpage [http://www.waterlog.info/partreg.htm] {{Wayback|url=http://www.waterlog.info/partreg.htm |date=20230715122719 }}</ref>，小步扩展范围，直到回归系数与零有显著差异。

在下图中，X=7.9时找到了断点，而对于相同的数据（芥菜产量见上图蓝色部分），最小二乘法仅在X=4.9时得到断点。后者的值较低，但对间断点以外数据的拟合效果更好。因此，采用哪种方法取决于分析的目的。
==另见==
* [[邹检验]]
* [[简单线性回归]]
* [[线性回归]]
* [[普通最小二乘法]]
* [[多元自适应回归样条]]
* [[局部回归]]
* [[断点回归]]
* [[分步回归]]

==参考文献==
<references />
[[Category:回归模型]]