查看“︁分段”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2017-12-16T01:18:52+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[數學]]中，'''分段'''定義的[[函數]]稱為'''分段函數'''，是由多個子函數而[[定義]]的，施加到主函數的域的一定的時間間隔的每個子函數（子域）。分段實際上是一種表達函數的方式，而不是函數本身的一個特徵，但是具有額外的限定，可以描述函數的本質。例如，分段[[多項式]]函數是在其每個子域上是多項式的函數，但是每個子域上可能是不同的。
字分段也用來描述適用於每件分段定義的函數的任何屬性，但不一定保持為函數的整個域。一個函數是分段[[微分]]的或分段[[連續]]微分的，如果每個子塊在整個子域內是可區分的，即使整個函數在塊之間的[[點]]上可能是不可區分的。在[[凸分析]]中，[[導數]]的概念可以被分段函數的子導數的概念取代。儘管分段定義中的“塊”不一定是間隔，但是除非是間隔，否則函數不被稱為'''分段[[線性]]'''、'''分段連續'''或'''分段可微'''。

== 符號和解釋 ==
[[Image:Absolute value.svg|thumb|200px|right|絕對值函數<math>y = |x|</math>的圖形]]
分段函數使用通用函數表示法來定義，其中函數的主體是函數和相關子域的[[數組]]。至關重要的是，在大多數情況下，只有有限數量的子域，每個子域必須是一個區間，以便將整個函數稱為'''分段'''。例如，考慮[[絕對值]]函數的分段定義：
:<math>|x| = \begin{cases}
  -x, & \mbox{if } x < 0 \\
  x,  & \mbox{if } x \ge 0
\end{cases}
</math>
對於<math>x</math>小於零的所有值，使用第一個函數（<math>-x</math>），它將取消輸入值的符號，使負數為正數。對於x大於或等於零的所有值，使用第二個函數（<math>x</math>），它對輸入值本身進行簡單計算。
考慮分段函數<math>f(x)</math>在<math>x</math>的特定值處計算：
{| class="wikitable"
! <math>x</math> !! <math>f(x)</math> !! 使用的函數
|-
| -3 || 3 || <math>-x</math>
|-
| -0.1 || 0.1 || <math>-x</math>
|-
| 0 || 0 || <math>x</math>
|-
| <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>x</math>
|-
| 5 || 5 || <math>x</math>
|}

== 連續性 ==
[[Image:Upper semi.svg|thumb|right|在<math>x_0</math>兩側由不同[[二次函数]]組成的分段函數]]
如果滿足以下條件，則分段函數在給定的時間間隔內是連續的：
* 它在整個間隔中被定義。
* 其構成函數在該間隔上是連續的。
* 在該區間內的子域的每個端點處不存在不連續性。
例如，圖中的函數在其子域中是分段連續的，但在整個域中是不連續的。圖中的函數包含跳躍不連續性<math>x_0</math>。

== 應用 ==
在應用的[[數學分析]]中，已經發現分段函數與[[视知觉|人類視覺系統]]的許多模型一致，其中在第一階段將圖像感知為包括由邊緣分隔的平滑區域。特別是，剪切片已經被用作表示系統來提供2D和3D中該模型類的稀疏近似。

== 常見示例 ==
分段函數的具體實例包括：
* [[阶跃函数]]，由[[常量函數]]組成的分段函數。
** [[Boxcar 函数]]
** [[单位阶跃函数]]
** [[符号函数]]
* [[Piecewise linear function]]，由[[線段]]組成的分段函數。
** [[絕對值]]
* [[破碎的冪定律]]，由[[冪定律]]組成的分段函數。
* [[样条函数]]，由多項式函數組成的分段函數，在多項式片段連接處具有高度的平滑度。
** [[B样条|B-样条]]
* [[PDIFF]]

[[Category:函数]]