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{{No footnotes|time=2018-09-23T06:41:13+00:00}}
{{noteTA
|G1=Signals and Systems}}
{{傅里叶变换}}
在[[數學]]中，'''分數傅立葉變換'''（Fractional Fourier transform，縮寫：FRFT）指的就是[[傅立葉變換]]（Fourier Transform）的廣義化。近幾年來，分數傅立葉變換除了在[[信號處理]]領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分（Fractional Convolution）、分數相關（Fractional Correlation）等許多相關的數學運算。

分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 <math>a</math> 次，其中 <math>a</math> 不一定要為整數；而做了分數傅立葉變換之後，信號或輸入函數便會出現在介於[[時域]]與[[頻域]]之間的分數域（Fractional Domain）。

若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至[[線性標準轉換|線性標準變換]]。

== 由來 ==

對信號 <math>x(t)</math> 做一次[[傅立葉變換]]的結果為<math>\mathcal{F}(x)</math> ，做兩次[[傅立葉變換]]的結果為<math>\mathcal{F}(\mathcal{F}(x)) </math> ，表示成<math>\mathcal{F}^2=\mathcal{F}(\mathcal{F}(x)) </math> ，而當做了 <math>a</math> 次的[[傅立葉變換]]可以寫成一般式 <math>\mathcal{F}^a(x)=\mathcal{F}^{(a-1)}(\mathcal{F}(x))</math> 。至此，都以 <math>a</math>為整數做考量，當令 <math>a=\frac{2\phi}{\pi}</math> 即 <math>\phi=\frac{1}{2} a\pi</math> 時，將 <math>x(t)</math> 的'''分數傅立葉變換'''定義為 <math>\mathcal{F}_\phi (x)=\mathcal{F}^{2\phi /\pi}(x)</math>，其中 <math>\phi</math> 可以不必為整數。

== 歷史 ==

分數傅立葉變換這個概念，其實最早在西元1929年，N.Wiener就已提出，但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年，V.Namias 在西元1980年重新提出（稱之為重發明）這個概念，但是一直到西元1994年，才有人真正把分數傅立葉變換用在信號處理上，此人為 L. B. Almeida。詳細歷史：1937年提出分數傅立葉變換的概念雛形; 1980年Namias較明確地提出分數傅立葉變換的數學表達式，並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解1987年Bride & Kerr 給出嚴格的數學定義以及性質1993年由德國的學者羅曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程; Mendlovic＆Ozaktas：漸變折射率GRIN介質中光傳播。 A. W. Lohmann: 維格納分佈函數和以及透鏡實現，自由空間的光衍射。 1993年Ozaktas，羅曼，Mendlovic等人在光學中全面引入分數傅立葉變換; 1995年Shih提出了另外一種分數傅立葉變換的形式; 1997年劉樹田等人根據Shih的定義給出了廣義分數傅立葉變換，1999年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於圖像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分數傅立葉變換及其在光學和信號處理中應用”一書。

== 定義 ==

'''第一種定義:'''

:<math>X_\phi (u) = \sqrt{1-jcot\phi}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut} e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^2} x(t) dt</math> 

'''第二種定義:'''

:<math>X_\phi (u) = \sqrt{\frac{1-jcot\phi}{2\pi}}\cdot e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot u^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-jcsc\phi \cdot ut} e^{j\frac{cot\phi}{2}\cdot t^2} x(t) dt</math>

<math>\phi = 0.5a\pi</math>, <math> a </math> 為實數。

當 <math>a=1</math> 時 (亦即 <math>\phi = 0.5\pi</math> )，'''分數傅立葉變換'''就成了[[傅立葉變換]]。

== 表示法 ==

<math>\mathcal{F}^2(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)) </math> ，則可推廣為<math>\mathcal{F}^{(n+1)}(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}^n(f))</math>;依此類推，<math>\mathcal{F}^{-n}(F)</math>表示<math>F(\omega)</math>的<math>n</math>次逆變換<math>\mathcal{F}^{-1}(F)</math>。

而'''分數傅立葉變換'''將以上定義推廣至非整數次的<math>n=\frac{2\alpha}{\pi}</math>，且<math>\alpha</math>為[[實數]]，表示為

<math>\mathcal{F}_\alpha(f) = \mathcal{F}^{2\alpha/\pi}(f)</math>，

當<math>n=\frac{2\alpha}{\pi}
</math>是一個整數時則代表傅立葉轉換做<math>n</math>次。

例如:

<math>n=1</math>時相當於做一次[[傅立葉變換]]，如果在[[時頻分析]](Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號'''順時針轉90度'''

<math>n=2</math>時相當於做兩次[[傅立葉變換]]，如果在[[時頻分析]](Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號'''順時針轉180度''',<math>\mathcal{F}^2[x(t)]=x(-t)</math>

<math>n=3
</math>時相當於做三次[[傅立葉變換]]，如果在[[時頻分析]](Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號'''順時針轉270度'''

<math>n=4
</math>時相當於做四次[[傅立葉變換]]，如果在[[時頻分析]](Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號'''順時針轉360度,'''<math>\mathcal{F}^4[x(t)]=x(t)</math>

== 性質 ==
對於任一實數<math>\alpha</math>，一個對<math>f</math>函數做<math>\alpha</math>角度分數傅立葉變換定義為

<math>\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = 
\sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} 
e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} 
\int_{-\infty}^\infty 
e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2}
f(t) dt 
</math>

並且具備以下特性
* 加法性(Additivity)
<math>\mathcal{F}_{\alpha+\beta}(f) = \mathcal{F}_\alpha(\mathcal{F}_\beta(f)) = \mathcal{F}_\beta(\mathcal{F}_\alpha(f))</math>。

* 線性(Linearity)
<math>\mathcal{F}_\alpha \left [\sum\nolimits_k b_kf_k(u)  \right ]=\sum\nolimits_k b_k\mathcal{F}_\alpha \left [f_k(u) \right ]</math>

* 整數傅立葉性質(Integer Orders)
若<math>\alpha=\frac{k\pi}{2}</math>,其中<math>k</math>為一整數則相當於做<math>k</math>次傅立葉轉換；

當<math>\alpha=\frac{\pi}{2}</math>時，這個定義就變成了[[連續傅立葉變換]]的定義 ，

當<math>{\displaystyle \alpha ={\frac {-\pi }{2}}} </math>時，它就變成了[[連續傅立葉變換]]之逆變換的定義。

若<math>\alpha</math>為<math>\pi</math>的整數倍，則[[餘切函數]]和[[餘割函數]]不會收斂。

有一方法可解決此問題，就是取[[limit of a function|limit]]讓以上定義變成有一個[[狄拉克δ函數]]被積分的情況，使得

<math>\mathcal{F}_\alpha = \mathcal{F}_{\frac{k\pi}{2}} = \mathcal{F}^k = (\mathcal{F})^k</math>

* 反轉性質(Inverse)
<math>(\mathcal{F}_\alpha)^{-1}=\mathcal{F}_{-\alpha}</math>

* 交換性(Commutativity)
<math>\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2}=\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_1}</math>

* 結合律(Associativity)
<math> \left (\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2} \right )\mathcal{F}_{\alpha_3} = \mathcal{F}_{\alpha_1} \left (\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_3} \right )</math>

* 帕塞瓦爾定理(Parseval Theorem)      
若從時頻分析圖上來看，代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆

<math>\int f^*(u)g(u)du=\int f_\alpha^*(u)g_\alpha(u)du</math>

== 定理 ==
<math>x(t)</math> 的分數傅立葉轉換 (<math>\phi</math>)的時頻分布，等同於 <math>x(t)</math> 的時頻分布([[維格納分布]],[[加伯轉換]])順時針旋轉角度 <math>\phi</math>，用數學式子表示如下:

===[[維格納分佈]](Wigner distribution function)===

假設 

(a) <math>W_x(t,f)</math> 是 <math>x(t)</math> 的維格納分布

(b) <math>W_{X_\phi}(u,v)</math> 是 <math>X_\phi(u)</math> 的維格納分布 

(c) <math>X_\phi(u)</math> 是 <math>x(t)</math> 的分數傅立葉轉換

，則<math>W_{X_\phi}(u,v)=W_x(ucos(\phi)-vsin(\phi),usin(\phi)+vcos(\phi))</math> 


===[[加伯轉換]](Gabor transform)===

假設 

(a) <math>G_x(t,f)</math> 是 <math>x(t)</math> 的加伯轉換

(b) <math>G_{X_\phi}(u,v)</math> 是 <math>X_\phi(u)</math> 的加伯轉換 

(c) <math>X_\phi(u)</math> 是 <math>x(t)</math> 的分數傅立葉轉換

，則<math>G_{X_\phi}(u,v)=G_x(ucos(\phi)-vsin(\phi),usin(\phi)+vcos(\phi))</math> 

'''例子一:''' 

對一個加伯轉換後的[[餘弦|餘弦函數]]做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖 

:[[File:Gabor_frft.png|无|缩略图|363x363像素]]

'''例子二:'''

對一個加伯轉換後的[[矩形函数|矩形函數]]做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖
[[File:Rec_frft.png|无|缩略图|363x363像素]]
== 應用 ==
可用分解信號和濾除雜訊；一般來說分為兩種，一種是在時域(Time domain)上，一種是在頻域(Frequency domain)上，

這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。

=== (一)時域 ===
假設現在<math>x(t)</math>是由兩個信號組成:

:<math>x(t)=x_1(t)+x_2(t)</math>，

<math>x_1(t)</math>和<math>x_2(t)</math> 用數學表示分別如下:

:<math>
x_1(t) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if }0<t<1\mbox{ } \\
0, & \mbox{otherwise }\mbox{ }
\end{cases}
</math>

:<math>
x_2(t) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if }8<t<10\mbox{ } \\
0, & \mbox{otherwise }\mbox{ }
\end{cases}

</math>
:<math>
h(t) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if }-2<t<2\mbox{ } \\
0, & \mbox{otherwise }\mbox{ }
\end{cases}

</math>


由式子可以很明顯地看出，<math>x1(t),x2(t)</math>兩信號是方波。

若要將這兩個信號分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號在時域上毫無重疊，便可以直接在時域上將這兩個信號分開。

則 <math>x(t)</math> 乘上 <math>h(t)</math> 時，<math>x_1(t)</math>這個信號會被保留，<math>x_2(t)</math>這個信號就被濾掉了。

此作法可成功將這兩個信號分開。

==== 限制 ====

此種方法的限制為欲分解的信號必須在时域不能重疊，否則無法成功分解。

---------------------------------------------------------------------------------

=== (二)頻域 ===

:<math>x(t)=x_1(t)+x_2(t)</math>，

:<math>x_1(t)=sin(4\pi t)</math>，<math>x_2(t)=cos(10\pi t)</math>。

可以很明顯地看出<math>x_1(t)</math>和<math>x_2(t)</math> 在時域上完全重疊，因此很難在時域分解這兩個信號。

此時，可以妥善利用傅立葉轉換將信號<math>x(t)</math>轉到頻域，其在頻域的表示式如下所示:

:<math>
X(f) = X_1(f)+X_2(f)
</math>

:<math>
X_1(f) = {\frac{\delta (f-2)-\delta (f+2)}{2}}
</math>

:<math>
X_2(f) = {\frac{\delta (f-5)+\delta (f+5)}{2}}
</math>

由<math>X(f)</math>可以很明顯地看出，若要將這兩個信號在頻域上分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號經過傅立葉轉換後，在頻域上完全沒有重疊。

==== 例子 ====

假設 <math>H(f)</math> 為一個[[低通濾波器]](Low-pass Filter)

:<math>
H(f) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if }-3<t<3\mbox{ } \\
0, & \mbox{otherwise }\mbox{ }
\end{cases}

</math>

則 <math>X(f)</math> 乘上 <math>H(f)</math> 時，<math>X_1(f)</math> 會被保留，<math>X_2(f)</math> 就被濾掉了。

反之，若要保留 <math>X_2(f)</math> 而濾掉 <math>X_1(f)</math> ，則可以使用高通濾波器(High-pass Filter)。

這種把欲處理信號先轉換到頻域，再做分解的動作，是濾波器設計的常見方法之一。

==== 限制 ====
欲分解的信號必須在頻域不能重疊，否則無法成功分解。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
=== (三)時頻域分解 ===

:<math>x(t)=e^{j0.5(t-4)^2}</math> ([[啁啾]]雜訊) + 三角波信號。

三角波信號(藍色)是我們要的信號，將前面的啁啾(綠色)視為雜訊，由圖中可以發現到，

不論在時域或是頻域，皆無法直接將噪音項<math>e^{j0.5(t-4)^2}</math>去除，這是因為<math>e^{j0.5(t-4)^2}</math>和三角波信號在時域和頻域皆重疊(如下圖左上、右上)。

因此，對於兩個在時、頻域皆重疊的信號來說，很難在'''一維'''的時域和頻域中將其分解。

但若使用'''二維'''的[[時頻分析]]，則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的信號分解。

這是因為兩個在時、頻域皆重疊的信號其時頻分布並不一定會重疊。因此，只要這兩個信號的時頻分布沒有互相重疊，就可以善用'''分數傅立葉變換'''將其成功分解(如下圖左下、右下)。

[[Image:Tri+chirp.png|比較使用分數傅立葉變換與傅立葉變換濾掉雜訊的效果]]

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

==== 例子一 ====

假設有噪音干擾，所以接收到的信號除了原始信號以外，還包含了雜訊。

用時頻分析方法來處理接收到的信號，黑色為原始信號(signal)的時頻分布，而綠色為噪音(noise)的時頻分布，如下圖。

[[Image:FRFT theory 1.png|收到信號的時頻分布|261x261像素]]

現在想把雜訊濾掉，以下探討3種方法來還原原始信號。

'''方法1''' : 使用垂直的 Cutoff line  

若在時頻分布圖中使用垂直的 Cutoff line ，就相當於在一維時域中，要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法1無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。

[[Image:FRFT theory 2.png|垂直cutoff line|259x259像素]]


'''方法2''' : 使用水平的 Cutoff line  

若在時頻分布圖中使用水平的 Cutoff line ，就相當於在一維頻域中，要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法2也無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。

[[Image:FRFT theory 3.png|水平cutoff line|270x270像素]]


'''方法3''' : 使用斜的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用斜的 Cutoff line ，則可以完美分離信號和噪音。如下圖。

Cutoff line 的參數包含了 <math>\phi</math> 和 <math>u_0</math>，<math>\phi</math> 是cutoff line和縱軸f-axis的夾角，而 <math>u_0</math> 則是cutoff line 距離原點的距離。

[[Image:FRFT theory 4.png|水平cutoff line|241x241像素]]



'''以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:'''

步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角 <math>\phi</math>

步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分布旋轉 <math>\phi</math>，使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。

步驟(3) 算出 <math>u_0</math>後，再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。

步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 <math>-\phi</math>，將時頻分布旋轉回原來的位置。


令接收到的信號為 <math>x_i(t)</math>，最後得到的信號為 <math>x_o(t)</math>，可將以上步驟用數學式子表示如下:

:<math>x_o(t)=X_{-\phi}[{X_\phi(x_i(t))H(u)}] </math>

:<math>
H(u) =
\begin{cases} 
1,  & \mbox{if} u<u_0\mbox{ } \\
0, & \mbox{if} u>u_0\mbox{ }
\end{cases}

</math>
:
:'''例子二:'''
:假設發射一信號s(t)，中間受到雜訊干擾，最後收到的訊號為f(t)=s(t)+noise
:[[File:Frft0.png|399x399像素]]
:(a) 發射訊號的時域圖
:(b) 接收訊號的時域圖
:(c) 發射訊號的韋格納分布  [[File:Frft1.png|无|缩略图|412x412像素]]
:(d) 接收訊號的韋格納分布，有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分布更是無法清楚地將訊號分離開來 
:(e) 發射訊號的加伯轉換 
:(f) 接收訊號的加伯轉換  
:[[File:Frft2.png|无|缩略图|415x415像素]](g) 接收訊號的加伯-維格納轉換 
:(h) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊 
:(i) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊
:[[File:Frft3.png|无|缩略图|371x371像素]]
:(j) 對(i)做分數傅立葉轉換 
:(k) 利用高通濾波器濾波，把兩條cutoff lines設置在低頻 
:(l) 經過(k)濾波器以後 
:(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號 
:(n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較，兩者的MSE僅有0.1128%

由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號

'''例子三:'''

一樣假設接收訊號受到了雜訊干擾
[[File:Frft4.png|无|缩略图|399x399像素]]
(a) 發射訊號

(b) 接收訊號 

(c) 接收訊號的韋格納分 

(d) 接收訊號的加伯轉換 

(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。 

(f) 還原訊號，MSE僅0.3013%

== 比較傅立葉轉換和分數傅立葉轉換 ==
'''傅立葉轉換'''

優點: 運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演算法。

缺點: 僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。

'''分數傅立葉轉換'''

優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度（時域）來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。

缺點: 運算複雜度較高。

== 相關條目 ==
其他的時間-頻率變換：
* [[短時傅立葉變換]]
* [[小波變換]]
* [[chirplet變換]]

== 外部連結 ==
* [http://tfd.sourceforge.net/ DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions] {{Wayback|url=http://tfd.sourceforge.net/ |date=20140116131707 }}
* [http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm Class notes of Time frequency analysis and wavelet transform --  from Prof. Jian-Jiun Ding's course website ]{{Wayback|url=http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm |date=20170101160000 }}
== 參考文獻 ==
* N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," ''Journal of Mathematics Physics MIT'', '''18''', 70-73 (1929). 
* V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," ''J. Inst. Appl. Math.'' '''25''', 241–265 (1980).
* Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," ''IEEE Trans. Sig. Processing'' '''42''' (11), 3084–3091 (1994).
* Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," ''IEEE Trans. Sig. Processing'' '''49''' (8), 1638–1655 (2001).
* D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," ''SIAM Review'' '''33''', 389-404 (1991).  (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
* Haldun M. Ozaktas,  Zeev Zalevsky and  M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics. 
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013

[[Category:傅里叶变换|F]]