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[[数学]]上，'''分數微積分（fractional calculus）'''是[[数学分析]]的一个分支，它研究[[微分算子]]<math>D= \frac{d}{dx}</math>和积分算子''J''的[[实数]]次幂的可能应用（通常不写作''I'',以避免和其他''I''形符号产生混淆）。

在这个上下文中，''幂''指反复应用，和
:<math>\, f^2 (x) = f(f(x))</math>
中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题
:<math>\sqrt{D}=D^{\frac{1}{2}}</math>
作为微分[[算子]]的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有[[微分]]的效果。

更一般的，
:<math>D^n</math>
对于实数值的''n''，使得当''n''为整数时，若''n''>0,它等同于通常的幂''n''次操作，当''n''<0,它等同于n次积分''J''。

讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂''D''<sup>''n''</sup>组成的[[半群]]可以看作一个''连续''的半群中取''离散''值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，''分数''是个错误的记号，因为指数可以取非[[有理数]]，但是''分数微积分''已成为习惯用法。

== 歷史緣由 ==
在[[应用数学|應用數學]]與[[数学分析|數學分析]]中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在1695年，[[戈特弗里德·莱布尼茨|萊布尼茲]]寫給[[紀堯姆·德·洛必達|洛必達]]的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在[[尼尔斯·阿贝尔|阿貝爾]]的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的，奧利弗·黑維塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

==试探法==
一个很自然的想法是问，是否存在一个算子<math>H</math>起到'''半导数'''的作用，即使得：

::<math>H^{2}f (x)=Df (x)=\frac{d}{dx}f (x)=f'(x)</math>

结论是：这样的算子是存在的，对于任意<math>a > 0</math>,存在一个算子<math>P</math>,满足：

::<math>(P ^ a f)(x) = f'(x) </math>，

或者换一个说法, <math>\dfrac{d^ny}{dx^n}</math>的定义可以从正整数''n''扩充到所有的实数''n''.

在这里我们引入[[Γ函數]]将阶乘扩展到实数和复数域上. [[Γ函數]]的定义如下：
::<math>n! = \Gamma(n+1) </math>，

假设对函数<math>f (x)</math> <math>( x > 0 )</math>在0到''x''上求积分，我们可以形式的定义积分算子''J'':
::<math>(J f )( x ) = \int_0^x f (t) \; dt </math>

重复这个过程，可得：
::<math>(J^2 f)(x) = \int_0^x ( J f )(t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt</math>,
这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的'''柯西公式'''，即：
::<math>(J^{n} f)(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f (t) \; dt </math>
我们可以直截了当的写出任意实数''n''的积分算子。

直接利用<math>\Gamma</math>函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式
::<math>(J^{\alpha}f)(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}f (t)\; dt</math>

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明''J''算子满足如下关系
::<math>(J^{\alpha})(J^{\beta})f=(J^{\beta})(J^{\alpha})f=(J^{\alpha+\beta})f=\frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}\int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1}f (t) \; dt</math>

这个性质叫'''微分积分算符'''的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子''D''一般来说不对易也不具有叠加性。

==分数微分在一个简单函数上的应用==
[[File:Half-derivative.svg|thumb|320px|函数<math>f (x)=x</math>（蓝色线条）的半导数（紫色线条）以及一阶导数（红色线条）]]
[[File:Fractional Derivative of Basic Power Function (2014).gif|thumb|320px|這個動畫展示了不同分數微分算子如何操作在''y''=''x''（藍色），結果（綠色）在一般的[[積分]]（α=−1: ''y''=''x''<sup>2</sup>/2，紫色）及一般的一次微分（α=+1: ''y''=1，紅色）間連續變化。]]
假设有一个函数
:<math> f (x)=x^k\;</math>。它的一阶导数一般是：
::<math> f'(x)=\dfrac{d}{dx}f (x)=k x^{k-1}\;</math>。重复这一过程，得到更一般的结果：
::<math> \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;</math>，将[[阶乘]]用[[伽玛函数]]替换，可得：
::<math> \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}\;</math>。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数<math>x</math>的半导数：
::<math> \dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-\frac{1}{2}+1)}x^{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1!}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{\frac{1}{2}} =
\dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}</math>。重复这一过程，得：
::<math>\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}2 \pi^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(1+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma (1)}x^{0}=\dfrac{2 \sqrt{\pi}x^0}{2 \sqrt{\pi}0!}=1</math>，这正是期望的结果：
::<math> \left(\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\right)x=\dfrac{d}{dx}x=1</math>。

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子，<math>(1+i)</math>阶导数作用后，<math>(1-i)</math>阶导数再作用，可以得到二阶导数。同时如果''a''为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果（当<math>0<\alpha<1</math>）。
::<math>D^{\alpha}f (x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f (t)}{(x-t)^{\alpha}}dt</math>

对于任意的<math>\alpha</math>,由于[[伽玛函数]]的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如
::<math>D^{\frac{3}{2}}f (x)=D^{\frac{1}{2}}D^{1}f (x)=D^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}f (x)</math>

== 拉普拉斯變換 ==
我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知

<math>\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)</math>

以及

<math>\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s\bigl(\mathcal L \left\{Jf\right\} \bigr)(s)=\frac1{s^2}\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)</math>

然後繼續下去，我們可以推斷:

<math>J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)(s)\right\}</math>

舉例來說:

<math>J^\alpha(t^k) = \mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\} = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} t^{\alpha+k} </math>

如同預期一樣。的確，我們給出捲積性質。

<math>\mathcal L\{f*g\}=\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{g\}\bigr)</math>

然後為了方便，令 {{math|''p''(''x'') {{=}} ''x''<sup>''α'' − 1</sup>}} ，我們發現到:

<math>\begin{align}
\left(J^\alpha f\right)(t) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\bigl(\mathcal L\{p\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\right\}\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\left(t-\tau\right)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\
\end{align}</math>

即得到柯西所給出的樣子。

拉普拉斯在一些較少的函數上有效，但是它在解分數微分方程上卻非常有用。

== 分數階積分 ==

== 分數階微分 ==

==应用==
'''WKB近似'''

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量<math>H=p^{2}+V (x)</math>中<math>V (x)</math>的倒数<math>V^{-1}(x)</math>可由对态密度的半阶微分求出
::<math>V^{-1}(x)=2\sqrt{\pi}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}n (x)</math>
这里采用了[[自然单位制]]，即<math>\hbar=2m=1</math><ref>''Fractional Calculus. An Introduction for Physicists'', by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore;（2014）ISBN 978-981-4551-09-0（http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8934） {{Wayback|url=http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8934%EF%BC%89 |date=20191030231041 }}</ref>

==相關條目==
* [[Γ函數]]
* [[拉普拉斯变换|拉普拉斯轉換]]

==参考文献==
{{Reflist}}

==外部链接==
* 任意阶微积分 [http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/ http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/] {{Wayback|url=http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/ |date=20201031101125 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/FractionalCalculus.html MathWorld - Fractional calculus] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/FractionalCalculus.html |date=20200916184342 }}
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html MathWorld - Fractional derivative] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html |date=20201112190346 }}
* Specialized journal: [http://www.diogenes.bg/fcaa/ Fractional Calculus and Applied Analysis] {{Wayback|url=http://www.diogenes.bg/fcaa/ |date=20200224015159 }}
* http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html {{Wayback|url=http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html |date=20081201134713 }}
* https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
* [http://www.tuke.sk/podlubny/fc_resources.html Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. ] {{Wayback|url=http://www.tuke.sk/podlubny/fc_resources.html |date=20070513062903 }}
*  http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html {{Wayback|url=http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html |date=20200109073611 }}
*[https://web.archive.org/web/20051029113800/http://www.nd.edu/~msen/Teaching/UnderRes/FracCalc.pdf History, Definitions, and Applications for the Engineer]（[[PDF]]）, by Adam Loverro, [[University of Notre Dame]]

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