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'''分数小波变换'''（Fractional wavelet transform，缩写：FRWT）是传统[[小波分析|小波变换]]（Wavelet transform）的推广。该变换的提出改进了了小波变换和[[分数傅里叶变换]]的局限性。分数小波变换继承了传统小波变换的多分辨率特性，同时，类似于分数傅里叶变换，可以表示分数阶域的信号特征。

== 定义 ==
分数傅里叶变换（FRFT）<ref>H. M. Ozaktas, Z. Zalevsky, and M. A. Kutay, The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing. Wiley, New York, 2000.</ref>是傅里叶变换（FT）的推广，它在光学、通信、信号和图像处理方面是一个强有力的分析工具。<ref>E. Sejdic, I. Djurovic, and L. Stankovic, "Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments," Signal Process., vol. 91, pp. 1351--1369, 2011.</ref>然而，由于分数傅里叶变换使用全局核函数，它只强调了存在某些成分，而没有说明这些成分的时间定位。因此，对非平稳信号进行FRFT频谱分析时需要在时间-FRFT域进行联合分析。

对FRFT的一个修改时短时分数傅里叶变换（STFRFT）。<ref>L. Stankovic, T. Alieva, and M. J. Bastiaans, "Time-frequency signal analysis based on the windowed fractional Fourier transform,"Signal Process., vol. 83, pp. 2459--2468, 2003.</ref><ref>R. Tao, Y. Lei, and Y. Wang, "Short-time fractional Fourier transform and its applications," IEEE Trans. Signal Process., vol. 58, pp. 2568--2580, 2010.</ref>STFRFT的思想时使用具有时间局域性的窗函数将信号分段，然后对每一段进行FRFT频谱分析。STFRFT可以在时间-FRFT域进行联合分析，然而，由于窗函数的长度是预先固定的，STFRFT并不能在时间域和FRFT域均提供良好的分辨率。换而言之，STFRFT的分辨率受到不确定性原理的约束<ref>J. Shi, X.-P. Liu, and N.-T. Zhang, "On uncertainty principle for signal concentrations with fractional Fourier transform," Signal Process., vol. 92, pp. 2830--2836, 2012.</ref>，即窄窗具有较好的时间分辨率和较差的FRFT谱分辨率；宽窗具有较好的FRFT谱分辨率和较差的时间分辨率。然而多数实际信号高频成分持续时间较短，而低频成分持续时间较长。

Mendlovic和David推广了小波变换，提出了分数小波变换（FRWT）。<ref>D. Mendlovic, Z. Zalevsky, D. Mas, J. Garcia, and C. Ferreira, "Fractional wavelet transform," Appl. Opt., vol. 36, pp. 4801--4806, 1997.</ref>

FRWT被定义为FRFT和小波变换（WT）的级联，即：

<math>
\begin{align}
W^{\alpha}(a,b)&=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}}{\mathcal K}_\alpha(u,t)f(t)\psi^{\ast}\left(\frac{u-b}{a}\right)dtdu\\
&=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{\mathbb{R}}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t){\mathcal K}_\alpha(u,t)dt\right)\psi^{\ast}\left(\frac{u-b}{a}\right)du\\
&=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{\mathbb{R}}F_{\alpha}(u)\psi^{\ast}\left(\frac{u-b}{a}\right)du\\
\end{align}
</math>

其中，变换的核函数<math>\mathcal{K}_{\alpha}(u,t) </math>为：

<math>
\mathcal{K}_{\alpha}(u,t)=
  \begin{cases}
  A_{\alpha}e^{j\frac{u^2+t^2}{2}\cot\alpha-jut\csc\alpha},&\alpha \neq k\pi\\
  \delta(t-u),&\alpha = 2k\pi \\
  \delta(t+u),&\alpha = (2k-1)\pi \\
  \end{cases}
</math>

其中<math>A_\alpha=\sqrt{{(1-j\cot\alpha)}/{2\pi}}</math>，<math>F_{\alpha}(u)</math>表示<math>f(t)</math>的FRFT。然而，由于时间信号在变换中丢失，这并不是时间-FRFT联合分布。

此外，Prasad和Mahato将信号和母小波的FRFT来表达信号的WT，并称这种表达为FRWT。<ref>A. Prasad and A. Mahato, "The fractional wavelet transform on spaces of type S," Integral Transform Spec. Funct., vol. 23, no. 4, pp. 237--249, 2012.</ref>即：

<math>
\begin{align}
\left(W_{\psi}^{\alpha}f\right)(b,a)&=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\psi^{\ast}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt\\
&=\frac{\csc\alpha}{4\pi^2}\int\limits_{\mathbb{R}}F(u\sin\alpha)\Psi^{\ast}(au\sin\alpha)e^{j\frac{u^2}{4}(1-a^2)\sin2\alpha-jbu}du\\
\end{align}
</math>

其中<math>F(u\sin\alpha)</math>和<math>\Psi(u\sin\alpha)</math>表示<math>f(t)</math>和<math>\psi(t)</math>的傅里叶变换（参数缩放了<math>\sin\alpha </math>倍）。显然，这种所谓的FRWT与普通WT是相同的。

最近， Shi等人通过引入与FRFT有关的分数卷积<ref>{{cite journal |last1=Shi |first1=J. |last2=Chi |first2=Y.-G. |last3=Zhang |first3=N.-T. |year=2010 |title=Multichannel sampling and reconstruction of bandlimited signals in fractional Fourier domain |journal=IEEE Signal Process. Lett. |volume=17 |issue=11 |pages=909–912 |bibcode=2010ISPL...17..909S |doi=10.1109/lsp.2010.2071383 |s2cid=17547603}}</ref>提出了新的关于FRWT的定义。<ref name=":0">{{cite journal |last1=Shi |first1=J. |last2=Zhang |first2=N.-T. |last3=Liu |first3=X.-P. |year=2011 |title=A novel fractional wavelet transform and its applications |journal=Sci. China Inf. Sci. |volume=55 |issue=6 |pages=1270–1279 |doi=10.1007/s11432-011-4320-x |doi-access=free}}</ref>任意平方可积函数<math>f(t)\in L^{2}(\mathbb{R})</math>的FRFT定义为：

<math>
W_{f}^{\alpha}(a,b)=\mathcal{W}^{\alpha}[f(t)](a,b)=\int\limits_{\mathbb{R}} f(t)\psi_{\alpha,a,b}^{\ast}(t)\, dt
</math>

其中<math>\psi_{\alpha,a,b}(t)</math>是对母小波<math>\psi(t)</math>的Chirp调制和连续仿射变换，即：

<math>
\psi_{\alpha,a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt{a}}\psi\left(\frac{t-b}{a}\right)e^{-j\frac{t^2-b^2}{2}\cot\alpha}
</math>

其中，<math>a\in \mathbb{R^+}</math>是尺度参数；<math>b\in \mathbb{R}</math>是位移参数。对应的逆FRWT变换为：

<math>
f(t)=\frac{1}{2\pi C_{\psi}}\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}^{+}}W_{f}^{\alpha}(a,b)\psi_{\alpha,a,b}(t)\frac{da}{a^2}db
</math>

其中<math>C_{\psi}</math>是与选用的小波相关的常数，该常数决定了重建能否进行，即容许性条件（Admissibility condition）：

<math>
C_{\psi}=\int\limits_{\mathbb{R}}{\frac{|\Psi(\Omega)|^2}{|\Omega|}}\,d\Omega<\infty
</math>

其中<math>\Psi(\Omega)</math>表示<math>\psi(t)</math>的傅里叶变换。容许性条件表明<math>\Psi(0)=0</math>，即<math>\int_{\mathbb{R}}\psi(t)dt=0</math>。因此，连续分数小波必须表现出震荡的性质，并在分数傅里叶域中体现出带通滤波器的特性。从这点来看，<math>f(t)</math>的FRWT变换可以用FRFT域来表示，即：

<math>
W_{f}^{\alpha}(a,b)=\int\limits_{\mathbb{R}}{\sqrt{2\pi a}F_{\alpha}(u)\Psi^{\ast}(au\csc\alpha)}\mathcal{K}^{\ast}_{\alpha}(u,b)du
</math>

其中<math>F_{\alpha}(u)</math>表示对<math>f(t)</math>的FRFT，<math>\Psi(u\csc\alpha) </math>表示<math>\psi(t)</math>的傅里叶变换（参数缩放了<math>\csc\alpha </math>倍）。当<math>\alpha={\pi}/{2}</math>时，FRWT退化为传统的小波变换。文献<ref name=":0" /><ref>{{Cite book|chapter=Wavelet Transforms and Their Applications|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-8176-8418-1|doi=10.1007/978-0-8176-8418-1|language=en|title=''Wavelet Transforms and Their Applications''|access-date=2023-02-28|archive-date=2023-02-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20230228071446/https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-8176-8418-1|dead-url=no}}</ref>对此类FRWT进行了深入的讨论。

== 分数小波变换的多分辨分析（MRA） ==
该文<ref>{{cite journal |last1=Shi |first1=J. |last2=Liu |first2=X.-P. |last3=Zhang |first3=N.-T. |year=2015 |title=Multiresolution analysis and orthogonal wavelets associated with fractional wavelet transform |journal=Signal, Image, Video Process |volume=9 |issue=1 |pages=211–220 |doi=10.1007/s11760-013-0498-2 |s2cid=3807003}}</ref>概述了分数小波变换及其多分辨分析。

== 参考文献 ==

[[Category:傅里叶分析]]
[[Category:小波分析]]