查看“︁分支过程”︁的源代码

在[[概率论]]中，'''分支过程'''（{{lang-en|Branching Process}}）属于[[随机过程]]的一类，由一系列[[随机变量]]组成。分支过程的最初目的是建立一个数学模型，研究第n代个体产生随机个后代时的个体数模型。最简单的情况是每个个体产生的后代数目遵循相同的[[随机分布]]。<ref>{{Cite book | last1 = Athreya | first1 = K. B. | chapter = Branching Process | doi = 10.1002/9780470057339.vab032 | title = Encyclopedia of Environmetrics | year = 2006 | isbn = 0471899976 | pmid =  | pmc = }}</ref>

== 数学表述 ==

分支过程最常见的表述是{{link-en|高爾頓－沃森過程|Galton–Watson process}}。记''Z''<sub>''n''</sub>为第''n''代的状态，随机变量''X''<sub>''n,i''</sub>表示第''n''代中第''i''个个体产生的直系后代数。对一切''n''&nbsp;∈{&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;...}，''X''<sub>''n,i''</sub>是[[独立同分布]]的。于是可得[[递推关系式]]

:<math>Z_{n+1} = \sum_{i=1}^{Z_n} X_{n,i}</math>

其中''Z''<sub>0</sub> = 1。

另外，分支过程也可表述为[[随机游走]]。记''S''<sub>''i''</sub>为第''i''代的状态，随机变量''X''<sub>''i''</sub>对一切''i''都是独立同分布的，则递推关系式为

:<math>S_{i+1} = S_i+X_{i+1}-1 = \sum_{j=1}^{i+1} X_j-i</math>

其中''S''<sub>0</sub> = 1。要想从直观上理解上式，可以设想一次随机游走的目的是访问到所有节点。令''S''<sub>''i''</sub>为第''i''期已发现但未访问的节点数，''X''<sub>''i''</sub>为第''i''个节点得到访问时已发现的节点数。于是在每一期中，已发现但未访问的节点数等于上一期已发现但未访问的节点数加上访问新节点时发现的节点数，再减掉刚访问的节点。当所有节点都访问过时，整个过程停止。

== 参见 ==
* [[隨機樹]]
* [[鞅 (概率论)]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
{{Stochastic_processes}}
[[Category:随机过程]]