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{{環論|基礎}}
在[[数学]]中，特别是[[交换代数]]中，'''分式理想'''的概念是在对[[整环]]的研究中所引入的，并且在[[戴德金整环]]的研究中得到丰富。类似于通过给[[整数]]引入[[分母]]而产生了[[分数]]，在整环中，'''分式理想'''可认为是为理想引入了{{fact|在某种意义上}}的分母。在特定上下文中，为了有所区别，环的普通[[理想 (环论)|理想]]常被强调为'''整理想'''。

==定义和基本结论==
设<math>R</math>是一个整环，<math>K</math>是其[[分式域]]。<math>R</math>的分式理想定义为<math>K</math> 的一个<math>R</math>-[[子模]]<math>I</math>，使得存在一个非零的<math>r \in R </math>，满足<math>rI \subset R</math>。<math>r</math>可以被认为是子模<math>I</math>的“分母”，如果一个分式理想可由<math>K</math>的单个元素生成，则称为'''主分式理想'''。分式理想<math>I</math>包含于<math>R</math>，当且仅当<math>I</math>是<math>R</math>的整理想。

给定整环<math>R</math>，<math>R</math>的一个分式理想<math>I</math>被称为是可逆的，如果存在另一个分式理想<math>J</math>，使得<math>IJ=R</math>。（这里，<math>IJ=\{ a_1 b_1+ a_2 b_2 + \dots +a_n b_n : a_i \in I, b_i \in J, n =0, 1, 2, \dots \}</math>被称为两个分式理想的积）。<math>R</math>的全体可逆分式理想按理想的求积运算，形成一个[[阿贝尔群]]，称为<math>R</math>的'''分式理想群'''；其[[单位元]]是<math>R</math>的[[单位理想]]，即<math>R</math>本身。<math>R</math>的全体主分式理想，形成一个分式理想群的[[子群]]。<math>R</math>的一个（非零）分式理想是可逆的，当且仅当它是作为一个<math>R</math>[[模]]是[[投射]]的。

<math>K</math>的每个[[有限生成模|有限生成<math>R</math>-子模]]都是<math>R</math>的分式理想。进一步，如果<math>R</math>是[[诺特环|诺特的]]，则这些就是<math>R</math>的全部分式理想。

==戴德金整环==
在[[戴德金整环]]中，上面的理论更为简单。特别地，戴德金整环的每个分式理想都是可逆的。事实上，这也是刻画戴德金整环的特征：一个整环是戴德金整环，当且仅当它的的每个非零分式理想都可逆。

在戴德金整环中，分式理想群模去主分式理想群所得到的[[商群]]是这个戴德金整环的重要[[不变量]]，称为它的[[理想类群]]。引入分式理想的一部分原因就是为了说明理想类群确实是个[[商群]]，这比通过特别地定义理想类的乘法运算来构造'''理想类群'''要更自然。{{Citation needed|date=January 2010}}

==除子理想==
设<math>\tilde I</math>为<math>R</math>的所有包含<math>I</math>的主分式理想的[[交集]]，则：
:<math>\tilde I = (R : (R : I))</math>
其中
:<math>(R:I) = \{ x \in K : xI \subseteq R \} </math> 为理想的商。

如果<math>\tilde I = I</math>，则称<math>I</math>为[[除子理想]]。如果<math>I</math>是除子理想，且<math>J</math>是非零素理想， 则<math>(I:J)</math> 也是除子理想。

一个整环称为[[Mori 整环]]， 如果其全体除子理想的集合满足[[升链条件]]。


==参考文献==
{{refbegin|2}}
*Chapter 9 of {{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | last2=Macdonald | first2=I.G. | title=Introduction to Commutative Algebra | publisher=Westview Press | isbn=978-0-201-40751-8 | year=1994}}
*Chapter VII.1 of {{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | title=Commutative algebra | publisher=Springer Verlag| edition=2nd | year=1998 | isbn=3-540-64239-0 }}
*Chapter 11 of {{Citation | last1=Matsumura | first1=Hideyuki | title=Commutative Ring theory | publisher=Cambridge University Press | edition=2nd | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-36764-6 | id={{MathSciNet | id = 1011461}} | year=1989 | volume=8}}
{{refend}}

{{DEFAULTSORT:Fractional Ideal}}
[[Category:理想]]
[[Category:代数数论]]