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{{noteta|G1=math}}
{{noteTA
|1=zh-tw:許瓦茲;zh-cn:施瓦兹;zh-hant:施瓦茨;
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[[数学分析]]中，'''分布'''（distribution）是[[广义函数]]的一种，由[[法国]][[数学家]][[洛朗·施瓦茨]]首先于二十世纪五十年代引入，因此又称'''施瓦兹分布'''（Schwartz distribution）、'''施瓦兹广义函数'''<ref>{{Cite web |url=https://www.termonline.cn/word/89254/1#s1 |title=存档副本 |access-date=2022-11-14 |archive-date=2022-11-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221114030127/https://www.termonline.cn/word/89254/1#s1 |dead-url=no }}</ref>（Schwartz generalized function）。分布推广了普通意义上的[[函数]]概念：对于普通意义上不[[导数|可导]]甚至不[[连续函数|连续]]的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意[[局部可积函数|局部可积]]的函数都有分布意义上的弱导数。在[[偏微分方程]]的研究中，常常使用分布来表示[[方程]]的广义[[微分方程|解函数]]，因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在[[物理学]]和工程学中都十分有用，因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的[[微分方程]]，例如初始条件可能是一个[[狄拉克δ函数|狄拉克δ]]分布。

广义函数的概念最早由[[谢尔盖·索伯列夫]]在1935年提出。1940年代末，施瓦茨等人开始建立分布理论，首次提出了一个系统清晰的广义函数理论。

==基本理念==
很多时候，函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的[[映射]]，是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的[[量子力学]]理论，特别是[[不确定性原理]]的发现，使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法，而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个[[粒子]]的位置”的信息，是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念，通过观察某个函数<math>f</math>与其它函数的“相互作用”来刻画这个函数。具体来说，我们观察<math>f</math>和一群“测量函数”<math>\varphi</math>之乘积的[[积分]]：<math>\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x</math>。之所以使用积分作为“观察”的方式，一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间，（局部）可积分的函数比（局部）可导的函数要“多得多”；另一方面，则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候，我们往往不要求（也无法做到）知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值，而只能通过多次测量，知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度，这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种“平均值”的数学表现形式。

分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的“广义函数”，称为'''分布'''，并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。也就是说，分布理论建立的分布应当满足几个基本的要求：
*连续的函数属于分布；
*可微、可积的函数对应的分布应该也能进行微分/求原函数操作，而且结果应该也是分布，并且应该对应于原函数的微分/原函数；
*基本的微积分法则适用于分布；
*存在适当的收敛定理，可以对分布进行极限操作。

对每一个实数值的“测试函数”<math>\varphi</math>，将它映射到积分<math>\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x</math>，就定义了一个[[线性泛函]]。这个线性泛函称为<math>f</math>对应的分布。积分<math>\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x</math>的存在性取决于函数<math>f</math>与<math>\varphi</math>的乘积，所以对<math>\varphi</math>要求越高，就能对越多的<math>f</math>定义对应的分布。分布理论中选取的“测试函数”的集合是[[紧集|紧]][[支撑集|支撑]]的函数空间D('''R''')，也就是满足以下两个条件的'''R'''射到'''R'''函数的集合：
#拥有任意阶的[[导数|导函数]]，并且导函数连续，
#除了在某一个紧致集合（一般可以简化为一个有限[[区间]]）以外，函数的取值都是0.
一般来说，一个分布就定义为 D('''R''') 射到'''R'''的连续线性泛函。一个分布<math>T</math>（作用在“测试函数”<math>\varphi</math>上）的值一般使用类似[[内积]]的符号记为<math>\langle T , \varphi \rangle</math>。当“测试函数”空间选为D('''R''')的时候，只要 <math>f</math>局部可积，就能定义它对应的分布。一个函数对应的分布通常记为<math>T_f</math>，以和<math>f</math> 区分，而它的值就是： 
:<math>\langle  T_f  , \varphi \rangle = \int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x</math>

对于[[概率分布函数]]<math>\mathbb{P}</math>，也可以将它定义为分布<math>T_{ \mathbb{P} }</math>。对给定的一个测试函数<math> \varphi </math>，可以定义分布<math>T_{ \mathbb{P} }</math>作用在<math> \varphi </math>上的值是：<math> \langle T_{ \mathbb{P} } , \varphi \rangle = \int \varphi(x) \mathbb{P}(\mathrm{d}x). </math> 这样定义下的<math>T_{ \mathbb{P} }</math>是线性的泛函，所以满足分布的定义。

除了对普通的函数可以定义分布，对一些普通意义上无法定义的“函数”也能定义出相应的分布。例如0点上的[[狄拉克δ函数]]就能用分布方式定义为：
: <math>\delta_0 (\varphi) =  \varphi(0).</math>
也就是说它对每一个函数的“效果”是取其0点上的值。

== 严格定义 ==
接下来，我们定义'''R'''<sup>''n''</sup>中开集'''U'''上的实值分布。在细微的调整之后，我们可以定义相应的复值分布，也可以将 '''R'''<sup>''n''</sup> 替换为任何（[[仿紧空间|仿紧]]）[[流形|光滑流形]]。

首先需要定义'''U'''上的检验函数空间 D('''U''') （即所谓的“测试函数”），定义其上的拓扑和极限。D('''U''')上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。

=== 检验函数空间 ===
函数<math>\varphi</math>: '''U''' → '''R'''具有紧支撑集，当且仅当存在'''U'''的紧子集'''K'''，使得对任意 '''U'''\'''K''' 中的元素<math>x</math>，都有<math>\varphi(x)=0</math>。

定义D('''U''')为所有在某个紧支撑集上无穷可微的函数（也就是所谓的[[隆起函数]]）的集合，则这个集合是一个实向量空间。这个空间中的[[拓扑]]可以通过定义[[序列]]的[[极限 (数学)|极限]]而定义。具体如下：
:一列函数<math>\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}</math>收敛到某个<math>\varphi_{\infty}\in D(\mathbf{U})</math>，当且仅当其满足以下两条性质：
:#存在紧集<math> \mathbf{K} \subset \mathbf{U}</math>包含所有<math> \varphi_k </math>的支撑集：
:#:<math>\bigcup_k \operatorname{supp}(\varphi_k)\subset \mathbf{K} \subset \mathbf{U}.</math>
:#对任意[[多重指标]]<math>\alpha</math>, 偏微分序列<math> \left( \partial^{\alpha}\varphi_k \right)_{k\in\mathbb{N}}</math>都[[一致收敛]]到<math>\partial^{\alpha}\varphi_{\infty}.</math>

在如此定义下的拓扑中，D('''U''')是一个[[完备空间|完备]]、[[局部凸拓扑向量空间|局部凸]]的拓扑向量空间，且满足[[海涅－博雷尔定理]]，但不是可度量的空间（不同胚于任何的度量空间）。而D('''U''')上的泛函<math>u</math>连续，当且仅当对任意收敛到零的<math>\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}</math>，都有<math>\lim_{k\to\infty}u(\varphi_k )=0.</math>

=== 分布 ===
'''U'''上的'''分布'''定义为D('''U''')上的连续线性泛函。也就是说，如果一个实线性泛函<math>S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}</math>（或复线性泛函<math>S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C}</math>）满足连续性，即对D('''U''')中任意的收敛函数列<math>\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}</math>，都有
:<math>\lim_{n\to\infty}S(\varphi_n)= S\left(\lim_{n\to\infty}\varphi_n\right)</math>
那么就称此泛函为'''U'''上的一个分布。

另一个更具可操作性的定义是，如果D('''U''')上的一个实线性泛函<math>S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}</math>（或复线性泛函<math>S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C}</math>）满足以下的条件：
:对任意的紧子集<math>K\in \mathbf{U}</math>，都存在<math>C_{K} >0</math>和<math>p_{K} \in \mathbb{N}</math>，使得对任意支撑集在<math>\operatorname{supp}(\varphi)\subset K</math>的检验函数<math> \varphi</math>，都有 
:<math> \langle S , \varphi\rangle \leqslant C_K \max_{|\alpha |\leqslant p_K} \sup_{x\in K} \vert \partial^{\alpha}\varphi (x)\vert .</math>
就称之为'''U'''上的一个分布。如果存在的正整数<math>p </math>使得对任意的<math>K\in \mathbf{U}</math>，都有<math>p_{K} \leqslant p</math>，那么最小的这样的<math>p </math>称为这个分布的阶数（order），称<math>S </math>为一个<math>p </math>阶分布。

'''U'''上的分布集合记为D'('''U''')，是D('''U''')的拓扑[[对偶空间]]。D'('''U''')中的元素<math>S</math>和D('''U''')中的元素<math>\varphi</math>之间的对偶关系可以用尖括号表示：
:<math>\mathrm{D}'(\mathbf{U}) \times \mathrm{D}( \mathbf{U} ) \ni (S, \varphi) \mapsto \langle S, \varphi \rangle \in \mathbf{R}.</math>

在弱＊拓扑下，D'('''U''')为一个局部凸的拓扑向量空间。其中，弱＊收敛的定义为：D'('''U''')中序列<math>\left(S_k\right)_{k\in\mathbb{N}}</math>弱＊收敛到<math>S</math>当且仅当对于任意的检验函数<math>\varphi</math>，有
:<math>\langle S_k, \varphi\rangle \xrightarrow[]{k\to\infty} \langle S, \varphi\rangle</math>

=== 函数对应的分布 ===
一个[[局部可积函数]]<math>f : \quad \mathbf{U} \rightarrow \mathbf{R}</math>是指在'''U'''的任意紧子集上都[[勒贝格积分|勒贝格可积]]的函数。局部可积函数包括了所有的连续函数和所有的[[Lp空间|L<sup>''p''</sup>可积函数]]。在以上定义的D('''U''')的拓扑中，每个局部可积的函数都对应着一个D('''U''')上的连续线性泛函，也就是D'('''U''')中的一个元素，记作<math>T_f</math>。线性泛函<math>T_f</math>作用在D('''U''')中任一个检验函数<math>\varphi</math>上的取值是：
:<math>\langle T_f,\varphi \rangle = \int_{\mathbf{U}} f\varphi\, \mathrm{d}x.</math>
一般约定，在不至于引起混淆的时候，可以将<math>T_f</math>和<math>f</math>等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作：
:<math>\langle f, \varphi\rangle = \langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\mathbf{U}} f\varphi\,\mathrm{d}x.</math> 
可以证明，两个局部可积函数<math>f</math>和<math>g</math>对应的分布相同，当且仅当它们[[几乎处处]]相等。与函数的分布类似，'''U'''上的每个[[拉东测度|Radon测度]]<math>\mu</math>都有一个对应的分布<math>T_{\mu}</math>，定义为：
:<math>\langle T_{\mu},\varphi \rangle = \int_{\mathbf{U}} \varphi\, \mathrm{d}\mu.</math> 
与函数的对应分布一样，测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来，比如将上式写成<math>\scriptstyle{\langle\mu,\varphi\rangle}</math>。

可以注意到，检验函数也是局部可积的，所以也有对应的分布。这些分布在D'('''U''')上是稠密的（对于以上定义的拓扑来说）。也就是说，任意一个分布<math>S\in D\prime(\mathbf{U})</math>都是某个检验函数（分布）序列<math>\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}</math>收敛的极限。对任意的检验函数<math>\phi\in D(\mathbf{U})</math>，都有：
:<math>\langle\varphi_n,\phi\rangle\to \langle S,\phi\rangle . \;</math>

==参见==

*[[伪微分算子]]
*[[里斯表示定理]]
*[[模糊拓扑]]
*[[弱解]]

==参考来源==
*{{citation|first=J.J.|last=Benedetto|title=Harmonic Analysis and Applications|publisher=CRC Press|year=1997}}.
*{{citation|first1=I.M.|last1=Gel'fand|first2=G.E.|last2=Shilov|title=Generalized functions|volume=1–5|publisher=Academic Press|year=1966–1968}}.
*{{citation|mr=0717035|first=L.|last= Hörmander|authorlink=Lars Hörmander|title=The analysis of linear partial differential operators I|series= Grundl. Math. Wissenschaft. |volume= 256 |publisher= Springer  |year=1983|isbn=3-540-12104-8 }}.
* {{citation
 |title        = Rules for integrals over products of distributions from coordinate independence of path integrals
 |first1       = H.
 |last1        = Kleinert
 |first2       = A.
 |last2        = Chervyakov
 |journal      = Europ. Phys. J.
 |volume       = C 19
 |issue        = 4
 |pages        = 743–747
 |year         = 2001
 |doi          = 10.1007/s100520100600
 |url          = http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_re303/wardepl.pdf
 |authorlink1  = Hagen Kleinert
 |bibcode      = 2001EPJC...19..743K
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}}.
* {{citation
 |title        = Coordinate Independence of   Quantum-Mechanical Path Integrals
 |first1       = H.
 |last1        = Kleinert
 |first2       = A.
 |last2        = Chervyakov
 |journal      = Phys. Lett.
 |volume       = A 269
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 |pages        = 63
 |year         = 2000
 |doi          = 10.1016/S0375-9601(00)00475-8
 |url          = http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/305/klch2.pdf
 |authorlink1  = Hagen Kleinert
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* {{citation|first=W.|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|title=Functional Analysis|edition=2nd|publisher=McGraw-Hill|year=1991|isbn=0-07-054236-8}}.
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* {{citation|first1=Elias|last1=Stein|authorlink1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=0-691-08078-X}}.
* {{citation|first=R.|last=Strichartz|year=1994|title=A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms|publisher=CRC Press|isbn=0-8493-8273-4}}.
*{{citation|first=François|last=Trèves|title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|publisher=Academic Press|year=1967|pages=126 ff}}.

==拓展阅读==
* M. J. Lighthill (1959). ''Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions''. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
* [[Hagen Kleinert|H. Kleinert]], ''Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets'', 4th edition, [https://web.archive.org/web/20100113042457/http://worldscibooks.com/physics/6223.html World Scientific (Singapore, 2006)](also available online [http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5 here] {{Wayback|url=http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5 |date=20080615134934 }}). See Chapter 11 for defining products of distributions from the physical requirement of coordinate invariance.
* [[Vasily Vladimirov|V.S. Vladimirov]] (2002). ''Methods of the theory of generalized functions''. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0
* {{springer|id=G/g043810|title=Generalized function|first=V.S.|last=Vladimirov| author-link= Vasilii Sergeevich Vladimirov|year=2001}}.
* {{springer|id=G/g043840|title=Generalized functions, space of|first=V.S.|last=Vladimirov| author-link= Vasilii Sergeevich Vladimirov|year=2001}}.
* {{springer|id=G/g043820|title=Generalized function, derivative of a|first=V.S.|last=Vladimirov| author-link= Vasilii Sergeevich Vladimirov|year=2001}}.
* {{springer|id=G/g043830|title=Generalized functions, product of|first=V.S.|last=Vladimirov| author-link= Vasilii Sergeevich Vladimirov|year=2001}}.
* {{springer|id=G/g130030|title=Generalized function algebras|first=Michael|last=Oberguggenberger|year=2001}}.

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