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{{refimprove|time=2014-03-07T12:01:15+00:00}}
'''分布滯後'''（{{Lang-en|distributed lag}}，又稱'''落差分配'''）的模型在[[統計學]]與[[計量經濟學]]裡是一種[[時間序列]]模型，模型的[[線性迴歸|迴歸]]式依據當期與前期[[解釋變數]]的值預估[[因變數]]的值。<ref>Jeff B. Cromwell, et al., 1994. ''Multivariate Tests For Time Series Models''. SAGE Publications, Inc. ISBN 0-8039-5440-9</ref><ref>Judge, George, et al., 1980. ''The Theory and Practice of Econometrics''. Wiley Publ.</ref>

分布滯後模型源自於下列形式的假設結構

:<math>y_t = a + w_0x_t + w_1x_{t-1} + w_2x_{t-2} + ... + \text{error term}</math>

或

:<math>y_t = a + w_0x_t + w_1x_{t-1} + w_2x_{t-2} + ... + w_nx_{t-n} + \text{error term},</math>

其中 ''y''<sub>''t''</sub> 是因變數 ''y'' 在第 ''t'' 期的值，''a'' 是需估計的[[截距]]項，而 ''w''<sub>''i''</sub> 稱為落差權重（亦需估計），置於前 ''i'' 期解釋變數 ''x'' 的前面。第一條方程式假設因變數的值會受到過去無數期[[自變數]]的值所影響，因此有無數個落差權重（{{Lang|en|lag weights}}），故稱為無窮落差分配模型（{{Lang|en|infinite distributed lag model}}）。相對的，第二條方程式的落差權重個數有限，假設一定期數前的自變數就不會影響因變數的值；基於這種假設的模型就稱為有限落差分配模型（{{Lang|en|finite distributed lag model}}）。

無窮落差分配模型需要估計無數個落差項的權重；顯然只有假設各落差權重之間的關係存在某種結構，才能以有限的假設參數表達無數個落差權重。有限落差分配模型的參數可以直接使用一般[[最小平方法]]（{{Lang|en|ordinary least squares}}）估計（假設有足夠的資料）；然而估計結果可能會因為各期自變數間的[[多重共線性]]而失真，或許還是一樣需要假設各落差權重之間的關係存在某種結構。

落差分配模型的右手側很容易擴充為一個以上的解釋變數。

==非結構化估計==

{{link-en|一般最小平方法|Ordinary least squares}}是估計落差分配之參數最簡單的方法，假設最多回顧 <math>P</math> 期落差項，假設誤差項為{{link-en|獨立同分配|Independent and identically distributed random variables}}，且各期落差項的係數之間沒有結構關係。然而各期落差項間經常出現[[多重共線性]]，導致估計出來的係數失真。

==結構化估計==

落差項的係數之間有結構關係的落差分配模型分為兩類：無窮跟有限。'''無窮落差分配'''之[[自變數]]的值會永無止境地影響未來所有的[[因變數]]，換句話說，[[因變數]]的值會受到之前所有[[自變數]]的值無遠弗屆的影響；但時間（落差）超過一定長度後影響逐漸趨近於零。'''有限時間落差分配'''之[[自變數]]的值只會影響未來幾期的[[因變數]]。

===有限落差分配===

最重要的有限落差分配模型是 '''{{link-en|Almon|Shirley Montag Almon}}落差模型'''<ref>Almon, Shirley, "The distributed lag between capital appropriations and net expenditures," ''Econometrica'' 33, 1965, 178-196.</ref>。這個模型由資料本身決定落差結構的型態，但研究人員必須指定最長的時間（落差）；長度不正確會扭曲落差結構的型態與[[自變數]]的累積效應。Almon 假設第 ''k''+1 個落差權重與下列式子當中 ''n''+1 個線性的可估計參數(''n<k'') ''a''<sub>''j''</sub> 有關

:<math> w_i = \sum_{j=0}^{n} a_j i^j </math>

其中 <math> i=0, \dots , k. </math>

===無窮落差分配===

最常見的無窮落差模型結構為'''幾何落差（{{Lang|en|geometric lag}}）'''，也稱為 '''Koyck lag'''。這種落差結構之[[自變數]]的權重(影響程度)隨著時間(落差)長度增加呈指數下降；雖然這種落差結構的型態固定，但下降率與整體影響程度都由資料本身決定。其迴歸式非常直覺：以前期的[[因變數]]與當期的[[自變數]]作為解釋變數（迴歸式的右手側）

:<math> y_t= a + \lambda y_{t-1} + bx_t + \text{error term}.</math>

如果模型設定正確，係數 <math>\lambda</math> 的值會介於 0 與 1 之間或等於 0。此模型[[自變數]]的短期(當期)影響為 b，長期(累積)影響可以寫成 <math>b+ \lambda b + \lambda^2 b + ... =  b/(1-\lambda).</math>

為了能夠由資料本身決定落差結構的型態，因而提出其它無窮落差分配模型。'''Polynomial inverse lag'''<ref>Mitchell, Douglas W., and Speaker, Paul J., "A simple, flexible distributed lag technique: the polynomial inverse lag," ''Journal of Econometrics'' 31, 1986, 329-340.</ref><ref>Gelles, Gregory M., and Mitchell, Douglas W., "An approximation theorem for the polynomial inverse lag," ''Economics Letters'' 30, 1989, 129-132.</ref> 假設落差權重與下列式子當中線性的可估計參數 ''a<sub>j</sub>'' 有關

:<math>w_i = \sum_{j=2}^{n}\frac{a_j}{(i+1)^j}, </math> 

其中 <math>i=0, \dots , \infty .</math>

'''Geometric combination lag'''<ref>Speaker, Paul J., Mitchell, Douglas W., and Gelles, Gregory M., "Geometric combination lags as flexible infinite distributed lag estimators," ''Journal of Economic Dynamics and Control'' 13, 1989, 171-185.</ref>假設落差項的權重與下列式子當中線性的可估計參數 ''a<sub>j</sub>'' 有關

:<math> w_i = \sum_{j=2}^{n} a_j(1/j)^i, </math> 

其中 <math>i=0, \dots , \infty </math> 或

:<math> w_i = \sum_{j=1}^{n} a_j [j/(n+1)]^i, </math> 

其中 <math>i=0, \dots , \infty .</math>

其它無窮落差分配結構還有 '''gamma lag'''<ref>Schmidt, Peter, "A modification of the Almon distributed lag," ''Journal of the American Statistical Association'' 69, 1974, 679-681.</ref> 與 '''rational lag'''<ref>Jorgenson, Dale W., "Rational distributed lag functions," ''Econometrica'' 34, 1966, 135-149.</ref>。

==參閱==
:*[[ARMA模型]]
:*[[Mixed-data sampling]]

==參考文獻==

{{reflist}}

[[Category:時間序列模型]]
[[Category:計量經濟學模型]]