查看“︁分圆多项式”︁的源代码

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<math>n</math> 次'''分圆多项式'''，是指[[多项式]] <math>x^n-1</math> 分解因式结果中的一个特定多项式 <math>f(x)</math>，满足 <math>f(x)=0</math> 的解都不是低于 <math>n</math> 次的形如 <math>x^n-1=0</math> 的[[方程]]的解。

n次的分圓多項式的[[根 (数学)|根]]是 <math>\mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi k}{n}}</math>（对所有满足 <math>\gcd(k,n)=1</math> 的整数 <math>k</math>）。

==例子==  
下表是几个次数较低的分圆多项式。
{| class="wikitable"
|-
! 次数 !! 对应的分圆多项式
|-
| 1 || <math>x-1</math>
|-
| 2 || <math>x+1</math>
|-
| 3 || <math>x^2+x+1</math>
|-
| 4 || <math>x^2+1</math>
|-
| 5 || <math>x^4+x^3+x^2+x+1</math>
|-
| 6 || <math>x^2-x+1</math>
|-
| 7 || <math>x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1</math>
|-
| 8 || <math>x^4+1</math>
|-
| 9 || <math>x^6+x^3+1</math>
|-
| 10 || <math>x^4-x^3+x^2-x+1</math>
|-
| 11 || <math>x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1</math>
|-
| 12 || <math>x^4-x^2+1</math>
|}

==性質==
基礎性質：
分圓多項式是整系數的[[不可約多項式]]，對於 <math>x^n-1</math> 的分圓多項式 <math>f(n)</math> ，有 <math>f(n)</math> 的次數為 <math>\varphi(n)</math>，其中 <math>\varphi(n)</math> 是[[歐拉函数]]。

計算：
對於n為[[質數]]的分圓多項式，我們有：
<math>f\left( x\right) =1+x+x^{2}+...+x^{n-1}=\sum ^{n-1}_{k=0}x^{k}</math>

[[Category:数论]]
[[Category:代数]]