查看“︁分圆域”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
在[[数论]]中，'''分圆域'''是在[[有理数|有理数域]] <math>\mathbb{Q}</math> 中添加[[复数 (数学)|复数]][[单位根]]进行扩张而得到的[[数域]]。将 <math>n</math> 次单位根 <math>\zeta_n</math> 加入而得到的分圆域称为 <math>n</math> 次分圆域，记作 <math>\mathbb{Q}(\zeta_{n})</math> 。

由于与[[费马最后定理]]的联系，分圆域在现代代数和数论的研究中扮演着重要的角色。正是因为[[恩斯特·库默尔|库默尔]]对这些数域上（特别是当 ''p''为[[素数]]时）的算术的深入研究，特别是在相应[[整环]]上[[算术基本定理|唯一分解定理]]的失效，使得库默尔引入了[[理想数]]的概念，并证明了著名的[[库默尔同余]]。

== 性质==

<math>n</math> 次分圆域是多项式 <math>x^n-1</math> 的[[分裂域]]，因此是有理数域的[[伽罗瓦扩张|伽罗瓦扩域]]。这个扩张的'''次数'''：<math>[ \mathbb{Q}(\zeta_n) \ : \ \mathbb{Q}]</math> 等于 <math>\phi(n)</math>，其中<math>\phi</math> 是[[欧拉函数]]。<math>\zeta_n</math> 的所有伽罗瓦共轭是<math>{\zeta^a_n}</math>，其中 a 遍历模 n的简化剩余系（所有与 n 互质的剩余类）。同样地，<math>n</math> 次分圆域的[[伽罗瓦群]][[同构]]于模 n 的乘法群 <math> \mathbf{Z} /n\mathbf{Z}^{\times}</math>，其元素为
: <math>b:(\zeta _n)^a \to (\zeta _n)^{ab}.</math>

== 与正多边形的联系==

[[高斯]]最早在研究[[尺规作图|尺规]]作[[正多边形]]问题时涉及到了分圆域的理论。这个几何问题实际上可以被转化为[[伽罗瓦理论]]下的叙述：对什么样的''n''，''n''次分圆域可以通过若干次的二次扩张得到？高斯发现正十七边形是可以用尺规作出的。更一般地说，对于一个素数 ''p''，正''p''边形可以用尺规作出当且仅当 ''p'' 为[[费马素数]]。

== 与费马最后定理的联系==

研究费马最后定理时，一个很自然的思路是将 <math>x^n+y^n</math> 分解为 <math>x^n+y^n=(x+y)(x+\zeta y) \ldots (x+\zeta^{n-1}y)</math> 的形式，其中的''n'' 是一个奇素数。这样得到的一次因式都是 ''n'' 次分圆域中的[[代数整数]]。如果在 ''n'' 次分圆域中[[算术基本定理]]成立，代数整数的素数分解是唯一的，那么可以通过它来确定方程是否有非平凡解。

然而，对于一般的 ''n''，这个结论是错误的。但是，库默尔找到了一个绕过这个困难的办法。他引进了“[[理想数]]”的概念，作为对素数概念的改良。他将代数整数的素数分解不唯一的概念量化为[[理想類群|类数]]：''h<sub>p</sub>''，并证明了如果 ''h<sub>p</sub>'' 不能被 ''p'' 整除（这样的 ''p'' 被称为[[正规素数]]），那么费马的猜想对于 ''n''&nbsp;=&nbsp;''p'' 是成立的。此外，他给出了[[库默尔准则]]来判断素数是否是正规的。运用这个准则，库默尔检验了100以下的素数，除了三个“不正规”的：37、59和67。

二十世纪后，库默尔关于分圆域的类数的[[同餘理論]]被[[日本]][[数学家]][[岩澤健吉]]推广为[[岩泽理论]]。

==参见==
*[[克罗内克-韦伯定理]]
*[[单位根]]

==参考来源==
* Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", J.W.S. Cassels、A. Frohlich 编, ''Algebraic number theory'', Academic Press, 1973.  Chap.III, pp.45-93.
* Daniel A. Marcus, ''Number Fields'', 第三版, Springer-Verlag, 1977
* Lawrence C. Washington, ''Introduction to Cyclotomic Fields'', Graduate Texts in Mathematics, 83. [[Springer-Verlag]], New York, 1982. ISBN 0-387-90622-3
* Serge Lang, ''Cyclotomic Fields I and II'', 第二版. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

{{代數數}}
[[Category:代数数论]]
[[Category:分圆域]]
[[Category:域论]]