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在[[形式本体论]]（[[英语]]：{{lang|en|formal ontology}}）领域（[[形而上学]]的一个分支）以及在[[计算机科学|计算机]]与[[信息科学]][[本体 (信息科学)|本体]]领域，'''分体拓扑学'''（[[英语]]：'''{{lang|en|mereotopology}}'''）是一种关于整体、部分、部分之部分以及部分间[[边界 (拓扑学)|边界]]之间关系的，用于具体表达[[分体论 (逻辑学)|分体论]]及[[拓扑学]]概念的[[一阶理论]]（[[英语]]：{{lang|en|first-order theory}}）。

==歷史與研究動機==
分體拓撲學開始於[[阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德]]的理論，在1916年至1929年間闡述於他出版的一些著作及文章。懷特黑德的早期研究在尼彭(Kneebone)(1963年: chpt. 13.5)與西門(Simons)(1987年: 2.9.1)的著作中均有討論到。懷特黑德的理論在1929年出版的書''[[歷程與實在]](Process and Reality)''中擴大討論到整體與部分的關係，這是夾雜著以諸如[[切点]]及[[连通空间]]的拓撲觀念一起來討論。儘管懷特黑德有如數學家版的洞察力，他的理論仍是不夠充分且不是很正式的立論，甚至頗有瑕疵。經由證明懷特黑德理論能夠被充分地正式化、且作一些訂正，就此克拉克(Clarke)(1981年, 1985年)確立了現代化的分體拓撲學。<ref>Casati & Varzi (1999年: chpt. 4) and Biacino & Gerla (1991年) have reservations about some aspects of Clarke's formulation.</ref> 克拉克與懷特黑德的理論在賽門(Simons)(1987年: 2.10.2)及盧卡斯(Lucas)(2000年: chpt. 10)的書上都有討論到。{{tsl|en|Whitehead's point-free geometry|懷特黑德無點幾何學}}入門觀點包含兩項現代懷特黑德理論的論述，因於基安吉阿卡茅·葛拉(Giangiacomo Gerla)的論說，理論上每項不同的論點將在下一章節中陳述說明。

雖然分體拓撲學是數學理論，不過我們將之後的發展歸功於[[逻辑|邏輯學家]]與理論[[计算机科学|計算機科學家]]。盧卡斯(2000年: chpt. 10)、卡塞迪與瓦力(1999年: chpts. 4,5)論述中提到分體拓撲學的有關引介，說到只要修過[[一阶逻辑]]的課程任何人都可以理解分體拓撲學的理論。更多進一步分體拓撲學的論述包含孔(Cohn)及瓦力(Varzi)(2003年)的著作，而以複雜數學來論述的有羅艾伯(Roeper)(1997年)的著作。關於[[懷特黑德無點幾何學]]的數學論述，參見葛拉(Gerla)(1995年)的著述。 

[[巴力·史密斯]](Barry Smith)(1996年)、安東尼·孔(Anthony Cohn)及共同作者、再則瓦力(Varzi)單獨個人與其他人，他們所有人都證明分體拓撲學能夠用在[[形式本體論]]與[[本体 (信息科学)|本體論]]，藉此達到正式化關連的作用，諸如在[[切点]]、[[连通空间]]、[[边界 (拓扑学)|邊界]]、[[内部]]、孔洞(hole)等等上的應用。

==卡塞迪與瓦力較優法==
卡塞迪與瓦力(1999年: chpt.4)闡述種種的分體論理論於一致的標記法上。這一章節闡述了一些巢狀理論，而這些巢狀理論在'''GEMTC'''的較優理論裡也已發展到頂點了，接著咱們緊跟著他們的解說來走。在'''GEMTC'''的分體拓撲闡述中，有部分為'''[[分体论 (逻辑学)|GEM]]'''的傳統理論。卡塞迪與瓦力也沒有說到是否'''GEMTC'''的[[模型论]]包含到任何傳統的[[拓扑空间]]。

我們以一些[[论域]]觀點作為起始論述，它們的元素稱為[[个体]](即一個[[分体论 (逻辑学)|分体论]][[同义词]]表示"個體的計算")。卡塞迪與瓦力較偏好限制本體論至實體物件，不過其他人就任意地應用分體拓撲理論來合理化幾何圖形與事件，並藉由提出[[人工智能]]的研究工作來解決問題。

使用一個大寫的拉丁字母來定義一個[[二元关系]]及[[谓词变量]]({{lang|en|predicate}})，而谓词变量的字母關係到[[一阶逻辑]]的關係。從拉丁字母群(A-Z)的後段取用小寫字母來定義變量範圍，且及於整個定義域；而從字母群的初始段取用的小寫字母就用來作為任意個體的名稱。假如以一公式以[[原子公式]]表示再接著{{tsl|en|logical biconditional|邏輯雙如言}}，因此[[邏輯雙如言]]右邊的次公式表為原子公式的定義，他們的變量就為[[自由变量和约束变量|非約束]]形式。否則，變數不是外顯性的量化而是內隱性的[[全称量化]]。底下所提的公理'''Cn'''系列對應到卡塞迪與瓦力(1999年: chpt. 4)著述里的公理'''C.n'''系列。

咱們從拓撲的基本理論談起，如[[二元关系]]的''連接''特性；基本[[原子公式]]''Cxy''表示"''x''是連接到''y''"。連結是被控制著，至少，是經由這些公理來達成：

'''C1'''. <math>\ Cxx.</math> ([[自反关系]])

'''C2'''. <math> Cxy \rightarrow Cyx.</math> ([[對稱]])

現在假定二元關係為''E''，定義為：

<math>Exy \leftrightarrow [Czx \rightarrow Czy].</math>

''Exy''讀為"''y''包圍''x''"且也全然為拓撲關係。而'''C1-2'''的表達結果即''E''是[[自反关系]]及[[传递关系]]，因此亦是[[预序关系]]。假如''E''也假定為[[外延公理]]，以致於：

<math> (Exa \leftrightarrow Exb) \leftrightarrow (a=b),</math>

接著''E''被證明為[[反对称关系]]且因此變成為一[[偏序关系]]。在區域內，標記為''xKy''，為[[懷特黑德無點幾何學|懷特黑德理論(1919年,1925年)]]上的單一最初關係，且為分體拓撲學的起始點。

令''子集''(parthood)為主要[[分体论 (逻辑学)|分体论]]定義上最初的[[二元关系]]，且令[[原子公式]]''Pxy''定義作"''x''是''y''的一部分"。咱們假設''P''為一[[偏序关系]]。稱其為結果的最簡化分體論'''M'''。

假如''x''為''y''的一部分，我們假定''y''包圍''x''：

'''C3'''. <math>\ Pxy \rightarrow Exy.</math>

'''C3'''精巧的連接[[分体论 (逻辑学)|分体论]]這個部分到[[拓扑学]]的範圍內。

令''O''表示為這個分體論''重覆''的二元關係，定義為：

<math> Oxy \leftrightarrow \exist z[Pzx \land\ Pzy].</math>

令''Oxy''表示為"''x''與''y''重覆"，再著手進行''O''的處理，'''C3'''的結果為：

<math>Oxy \rightarrow Cxy.</math>

要注意到[[逆 (邏輯)|逆命題]](converse)是不需要一直堅持著。儘管情況顯示重覆是需要連結的，然而連結的情況是反而是不需要重覆的。假如不是這種情況，[[拓扑学]]不會僅是一個[[分体论 (逻辑学)|分体论]]模式(這兒"重覆"總是表示為原來的或是定義好的兩種情況之一)。

基礎分體拓撲學('''MT''')即表示這個理論含有最初的''C''與''P''，定義的''E''與''O''，及公理'''C1-3'''，而這些公理可以用來確定''P''即是[[偏序关系]]。在'''MT'''中以標準的[[外延公理]]分體論'''[[分体论 (逻辑学)|GEM]]'''來替代'''M'''產生'''GEMT'''理論.

令''IPxy''表示為"''x''是''y''內之一部分"，''IP''定義為：

<math>IPxy \leftrightarrow (Pxy \land (Czx \rightarrow Ozy)).</math>

令&sigma;''x'' &phi;(''x'')定義為所有在定義域滿足&phi;(''x'')之分體邏輯和(合并)。&sigma;為一[[自由变量和约束变量|约束变量]][[子字串|前綴]]({{lang|en|prefix}})算子。'''GEM'''的公理假設&phi;(''x'')是一個[[一阶逻辑]]則這個和就存在著。根據現成的&sigma;及''IP''關係的條件，咱們能定義''x''[[内部]]結構，<math>\mathbf{i}x,</math> 而這是''x''所有的內部部分''z''分體之和，或則：

<math>\mathbf{i}x \leftrightarrow \sigma z[IPzx].</math>

這個定義出兩個簡單結果為：

<math>\mathbf{i}W \leftrightarrow W,</math>

這兒''W''表全體的個體部分，且

'''C5'''.<ref>The axiom '''C4''' of Casati and Varzi (1999) is irrelevant to this entry.</ref> <math>\ P(\mathbf{i}x)x.</math> ([[子集]])

算子 '''i''' 含有超過兩個公理屬性：

'''C6'''. <math>\mathbf{i}(\mathbf{i}x) \leftrightarrow \mathbf{i}x.</math> ([[等冪]])

'''C7'''. <math>\mathbf{i}(x \times y) \leftrightarrow \mathbf{i}x \times \mathbf{i}y,</math> 

而''a''&times;''b''為''a''與''b''的分體乘積，在''Oab''不成立時並不定義。'''i'''分散在乘積里。

現在看得出來，對於[[拓扑学]]的[[内部|内部算子]]而言'''i'''為[[同构]]。也因此'''i'''的[[對偶性]]({{lang|en|duality}})、拓撲[[闭包算子]]'''c'''，以'''i'''的觀點可以被定義出來，且[[卡齐米日·库拉托夫斯基]]公理對'''c'''而言是一些定理。同樣地，已知'''c'''的公理是類比於'''C5-7'''，'''i'''依'''c'''可以被定義，且'''C5-7'''可以成為定理。將'''C5-7'''加進'''GEMT'''而產生卡塞迪與瓦力較優分體拓撲理論，'''GEMTC'''。

''x''為''自我連接''，假如它滿足下列謂語變量邏輯：

<math> SCx \leftrightarrow ((Owx \leftrightarrow (Owy \lor Owz)) \rightarrow Cyz).</math>

要注意到在定義上'''MT'''不但是單獨、且為充分之最原始的及有定義的謂語變數。謂語變數''SC''可以正式成立需要的條件、是基於所給予的[[阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德|懷特黑德]]'的''[[歷程與實在]]''書中所述：兩個個體之分體邏輯和是能夠存在：他們也必須是連結的。正式定義為：

'''C8'''. <math> Cxy \rightarrow \exist z[SCz \land Ozx \land (Pwz \rightarrow (Owx \lor Owy)).</math>

給予一些分體拓撲'''X'''，加'''C8'''到'''X'''結果產生出卡塞迪與瓦力所稱的'''X'''的''懷特黑德衍伸式''，表記為'''WX'''。因此這個定理為'''WGEMTC'''，它的公理為'''C1-8'''。

'''C8'''的逆向為'''GEMTC'''定理。因此，已知一'''GEMTC'''的公理，假如''O''及''SC''視為起初的謂語變量，則''C''為一已定義的謂語變量。

假如主要的分體論是沒有[[原子公式]]且比'''GEM'''來的弱，這公理確定是缺少原子公式('''P9'''出於"卡塞迪與瓦力1999"的論述)那就可以被'''C9'''替代，如此則可以設想沒有一個個體有[[边界 (拓扑学)|拓撲邊界]]：

'''C9'''. <math> \forall x \exist y[Pyx \land (Czy \rightarrow Ozx) \land \lnot (Pxy \land (Czx \rightarrow Ozy))].</math>

當[[定義域]]包含有幾何圖形時，則邊界值可以是點、曲線，或面。考慮到其它的本體論時、邊界值能夠代表什么意思，討論起來不是一件簡單的事情，在卡塞迪與瓦力(1999年: chpt. 5)的著作裡有討論到這些問題。

==参见==
*[[分体论]]
*{{tsl|en|Pointless topology|无点拓扑学}}
*[[点集拓扑学]]
*[[拓扑学]]
*[[拓扑空间]] <!-- (with links to [[T0 space|T0]] through [[Perfectly normal Hausdorff space|T6]]) -->
<!-- *[[Whitehead's point-free geometry]] -->

==註釋==
<div class="references-small">
<references />
</div>

==参考资料及延伸阅读==
<div class="references-small">
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</div>

==外部链接==
<div class="references-small">
* {{en}}[[史丹佛哲學百科全書]](Stanford Encyclopedia of Philosophy): [http://plato.stanford.edu/entries/boundary/ Boundary] {{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/boundary/ |date=20200906075931 }} -- by Achille Varzi. With many references.
</div>

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{{哲学}}

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