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[[File:Probit plot.png|thumb|{{le|波比|probit}}是[[正态分布]]的分位函数。]]

在[[概率]]和[[统计学]]中，与[[随机变量]]的[[概率分布]]相关联的'''分位函数'''（{{lang-en|Quantile function}}）指定[[随机变量]]的值，使得变量小于或等于该值的概率等于给定概率。 直观地说，分位函数与概率输入处和以下的范围相关联，即随机变量在该范围内实现某个概率分布的可能性。 

== 定义 ==
对于一个连续且严格单调的分布函数，例如，一个[[随机变量]]''X''的[[累积分布函数]]<math> F_X\colon R \to [0,1]</math>，分位函数<math>Q</math>返回一个阈值<math>x</math>，低于该阈值从给定的[[累积分布函数]](cdf)中随机抽取会下降 <math>p</math>百分比的时间。

就分布函数<math>F</math>而言，分位函数''<math>Q</math>''返回值''<math>x</math>''使得

:<math>F_X(x) := \Pr(X \le x) = p.\,</math>

== 应用 ==
分位函数用于统计应用和[[蒙特卡洛方法]]。

分位函数是规定概率分布的一种方式，它是[[概率密度函数]](pdf)、或[[概率质量函数]](pmf)、[[累积分布函数]](cdf)、和[[特征函数 (概率论)|特征函数]]的替代方法。概率分布的分位函数 ''<math>Q</math>'' 是其累积分布函数 <math>F</math>的[[反函数]]。分位函数的导数，即分位密度函数，是另一种规定概率分布的方式。 它是由分位函数组成的[[概率密度函数]](pdf)的倒数。

对于统计应用程序，用户需要知道给定分布的关键百分比。 例如，它们需要[[中位数]]和25%和75%的[[四分位数]]，如上例所示，或 5%、95%、2.5%、97.5% 的水平用于其他应用，例如评估其已知分布的观察的[[统计显着性]]； 请参阅[[分位数]]条目。 在电脑普及之前，书籍的附录中附有统计表对分位函数进行抽样的情况并不少见<ref>{{cite web|url=http://course.shufe.edu.cn/jpkc/jrjlx/ref/StaTable.pdf |title=Archived copy |access-date=March 25, 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120324042025/http://course.shufe.edu.cn/jpkc/jrjlx/ref/StaTable.pdf |archive-date=March 24, 2012 }}</ref>。Gilchrist广泛讨论了分位函数的统计应用<ref>{{cite book|author=Gilchrist, W. |year=2000|title=Statistical Modelling with Quantile Functions|isbn=1-58488-174-7}}</ref>。

蒙特卡洛模拟采用分位函数来生成非均匀随机数或[[伪随机数]]，以用于各种类型的模拟计算。原则上可以通过将分位函数应用于均匀分布的样本来获得来自给定分布的样本。

== 参阅 ==
* [[逆变换采样]]
* [[百分點]]
* [[分位数]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 延伸阅读 ==
*{{En}}Abernathy, Roger W. and Smith, Robert P. (1993) *[http://portal.acm.org/citation.cfm?id=168387 "Applying series expansion to the inverse beta distribution to find percentiles of the F-distribution"], ''ACM Trans. Math. Softw.'', 9 (4), 478&ndash;480 {{doi|10.1145/168173.168387}}
*{{En}}[https://web.archive.org/web/20070609171237/http://www.mth.kcl.ac.uk/~shaww/web_page/papers/NormalQuantile1.pdf Refinement of the Normal Quantile]
*{{En}}[https://web.archive.org/web/20070508022437/http://www.mth.kcl.ac.uk/~shaww/web_page/papers/Tdistribution06.pdf New Methods for Managing "Student's" T Distribution]
*{{En}}[http://portal.acm.org/citation.cfm?id=355600 ACM Algorithm 396: Student's t-Quantiles]

{{概率分布理论}}

[[Category:与概率分布相关的函数]]