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{{refimprove|date=2017年12月}}
'''分佈式參數系統'''（{{lang|en|distributed parameter system}}）不同於[[集總電路|集總參數系統]]，是[[状态空间]]為無限[[向量空间的维数|維度]]的[[系統]]。這類系統也稱為是'''無限維系統'''。典型的例子是用[[偏微分方程]]或是[[时滞微分方程]]描述的系統。以下段落所探討的會以[[線性系統|線性]][[非時變]]分佈式參數系統為主。

== 抽象发展方程 ==
=== 離散時間 ===
假設''U''、''X''和''Y''是[[希尔伯特空间]]，而''<math>A\,</math>''&nbsp;∈&nbsp;''L''(''X''), ''<math>B\,</math>''&nbsp;∈&nbsp;''L''(''U'',&nbsp;''X''), ''<math>C\,</math>''&nbsp;∈&nbsp;''L''(''X'',&nbsp;''Y'') 和''<math>D\,</math>''&nbsp;∈&nbsp;''L''(''U'',&nbsp;''Y'')，以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統：
:<math>x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,</math>
:<math>y(k)=Cx(k)+Du(k)\,</math>
其中''<math>x\,</math>''（狀態）是序列，其值在''X''內，''<math>u\,</math>''（輸入或是控制）是序列，其值在''U''內，''<math>y\,</math>''（輸出）為序列，其值在''Y''內。

=== 連續時間 ===
連續時間的例子類似離散時間，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：
:<math>\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\, </math>,
:<math>y(t)=Cx(t)+Du(t)\, </math>

接下來複雜的部份就是將實際的問題（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是強制使用[[无界算子]]。一般會假定''A''狀態空間''X''裡的{{le|強連續半群|strongly continuous semigroup|C0半群}}。假定''B''、''C''和''D''是有界算子，允許包括多待分析的實際的例子<ref>Curtain and Zwart</ref>，不過有些實際的例子也會假定''B''和''C''是無界的。

== 例子：偏微分方程 ==
<math>t>0</math>及<math>\xi\in[0,1]</math>的偏微分方程如下
:<math>\frac{\partial}{\partial t}w(t,\xi)=-\frac{\partial}{\partial\xi}w(t,\xi)+u(t),</math>
:<math>w(0,\xi)=w_0(\xi),</math>
:<math>w(t,0)=0,</math>
:<math>y(t)=\int_0^1 w(t,\xi)\,d\xi,</math>
符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間''U''及輸出空間''Y''都選定是複數的集合，狀態空間''X''選定是''L''<sup>2</sup>(0,&nbsp;1)，''A''算子定義為:<math>Ax=-x', D(A)=\left\{x\in X: x\text{ absolutely continuous }, x'\in L^2(0,1)\text{ and }x(0)=0\right\}.</math>
可以證明<ref>Curtain and Zwart Example 2.2.4</ref>''A''可以產生''X''空間內的強連續半羣。有界算子''B'', ''C''和''D''定義為
:<math>Bu=u, Cx=\int_0^1 x(\xi)\,d\xi, D=0</math>

== 例子：时滞微分方程 ==
时滞微分方程
:<math>\dot{w}(t)=w(t)+w(t-\tau)+u(t),</math>
:<math>y(t)=w(t),</math>
符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間''U''及輸出空間''Y''都選定是複數的集合，狀態空間''X''選定是''L''<sup>2</sup>(&minus;''τ'',&nbsp;0)複數的乘積，''A''算子定義為
:<math>A\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+f(-\tau)\\f'\end{pmatrix}, D(A)=\left\{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}\in X: f\text{ absolutely continuous }, f'\in L^2([-\tau,0])\text{ and }r=f(0)\right\}.</math>
可以證明<ref>Curtain and Zwart Theorem 2.4.6</ref>''A''可以產生''X''空間內的強連續半羣。有界算子''B'', ''C''和''D''定義為
:<math>Bu=\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}, C\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}=r, D=0.</math>
== 傳遞函數 ==
分佈式參數系統的[[傳遞函數]]和有限維度下的情形相同，都是利用[[拉氏轉換]]（連續時間）或是[[Z轉換]]（離散時間）來定義。不過有限維度下的傳遞函數是真分式的有理函數，而無限維度的傳遞函數會是無理函數（不過仍然是[[全純函數]]）。
=== 離散時間 ===
離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數，表示為以下的形式<math>D+\sum_{k=0}^\infty CA^kBz^k</math>，函數在圓心為原點的圓盤內是全純的<ref>This is the mathematical convention, engineers seem to prefer transfer functions to be holomorphic at infinity; this is achieved by replacing ''z'' by 1/''z''</ref>。若1/''z''在A的resolvent set內（可能是另一個以圓心為原點，較小的圓盤），則傳遞函數為<math>D+Cz(I-zA)^{-1}B</math>。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統，使該函數為離散系統的傳遞函數。
=== 連續時間 ===
若''A''可產生強連續半群，且''B''、''C''及''D''為有界算子<ref>Curtain and Zwart Lemma 4.3.6</ref>，則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為<math>D+C(sI-A)^{-1}B</math>，其中''s''的實部比''A''產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下，上述公式不一定有意義，不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效<ref>Staffans Theorem 4.6.7</ref>。

若要得到傳遞函數的簡單表示式，較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換，而不是用狀態空間中的參數來表示。

==== 偏微分方程的傳遞函數 ====
令初始條件<math>w_0</math>為0，將對''t''進行過拉氏轉換的函數用大寫表示，可以將偏微分方程轉換為以下的形式
:<math>sW(s,\xi)=-\frac{d}{d\xi}W(s,\xi)+U(s),</math>
:<math>W(s,0)=0,</math>
:<math>Y(s)=\int_0^1 W(s,\xi)\,d\xi.</math>
這是非齊次線性微分方程，變數為<math>\xi</math>，''s''為參數，且初始條件為零。其解為<math>W(s,\xi)=U(s)(1-e^{-s\xi})/s</math>。用此式來代入有''Y'' 的方式中並且積分，可以得到<math>Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^2</math>，因此傳遞函數為<math>(e^{-s}+s-1)/s^2</math>。

==== 時滯微分方程的傳遞函數 ====
類似上述偏微分程的例子，時滯微分方程的傳遞函數為<ref>Curtain and Zwart Example 4.3.13</ref> <math>1/(s-1-e^{-s})</math>。

== 可控制性 ==
在有限維的系統中，[[可控制性]]的定義只有一種，但無限維的系統中，有幾種不相容的可控制性定義。以下是最重要的三種：
*精確可控制性（Exact controllability）
*近似可控制性（Approximate controllability）
*零可控制性（Null controllability)

=== 離散時間下的可控制性 ===
在離散時間系統中，將所有''U''值序列的集合映射到X的映射<math>\Phi_n</math>相當的重要，其表示式為<math>\Phi_n u=\sum_{k=0}^n A^kBu_k</math>。<math>\Phi_nu</math>是初始條件為零時，給定輸入序列''u''下達到的狀態。The system is called 
*系統在時間''n''內為精確可控制（exactly controllable）若<math>\Phi_n</math>的值域為''X''。
*系統在時間''n''內為近似可控制（approximately controllable）若<math>\Phi_n</math>的值域是''X''內的稠密集。
*系統在時間''n''內為零可控制（null controllable）若<math>\Phi_n</math>的值包括''A<sup>n</sup>''的值域。

=== 連續時間下的可控制性 ===
在連續時間系統中，<math>\Phi_t</math>（表示為<math>\int_0^t {\rm e}^{As}Bu(s)\,ds</math>）有和離散時間系統的<math>\Phi_n</math>一樣重要的角色。不過，控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是''L''<sup>2</sup>(0,&nbsp;∞;''U'')，是在(0,&nbsp;∞)區間內''U''值平方可積函數的（等效）空間，不過也有其他的定義，例如''L''<sup>1</sup>(0,&nbsp;∞;''U'')。當<math>\Phi_t</math>的定義域選定之後，有以下幾種不同的可控制性<ref>Tucsnak Definition 11.1.1</ref>。
*系統在時間''t''內為精確可控制（exactly controllable）若<math>\Phi_t</math>的值域為''X''。
*系統在時間''t''內為近似可控制（approximately controllable）若<math>\Phi_t</math>的值域為''X''內的稠密集。
*系統在時間''t''內為零可控制（null controllable）若<math>\Phi_t</math>的值包括<math>{\rm e}^{At}</math>的值域。

=== 可觀察性 ===
就如同有限維度下的情形一樣，無限維度的[[可觀察性]]也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義，最重要的三個如下：
*精確可觀察性（exactly observable），也稱為連續可觀察性（continuous observability）
*近似可觀察性（approximately observable）
*最終狀態可觀察性（final state observable）

==== 離散時間下的可觀察性 ====
在離散時間系統的可觀察性中，<math>\Psi_n</math>（將''X''映射到所有''Y''值序列空間的映射，若''k''&nbsp;≤&nbsp;''n''，表示為<math>(\Psi_nx)_k=CA^kx</math>，在''k''&nbsp;>&nbsp;''n''時，數值為0)。意思是<math>\Psi_nx</math>是初始條件''x''，控制輸入為0時的truncated output。有以下幾種可觀察性
*在時間''n''有精確可觀察性（exactly observable），若存在 ''k''<sub>''n''</sub>&nbsp;>&nbsp;0 ，使得　<math>\|\Psi_nx\|\geq k_n\|x\|</math>，在所有 ''x''&nbsp;∈&nbsp;''X'' 時都成立
*在時間''n''有近似可觀察性（approximately observable），若<math>\Psi_n</math>為[[单射]]
*在時間''n''有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 ''k''<sub>''n''</sub>&nbsp;>&nbsp;0 使得<math>\|\Psi_nx\|\geq k_n\|A^nx\|</math>，在所有 ''x''&nbsp;∈&nbsp;''X'' 時都成立

==== 連續時間下的可觀察性 ====
在連續時間系統的可觀察性中，<math>\Psi_t</math>（表示為<math>(\Psi_t)(s)=C{\rm e}^{As}x</math>，其中''s&isin;[0,t]''，若''s>t''時為零）的角色和<math>\Psi_n</math>在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是''L''<sup>2</sup>(0,&nbsp;∞,&nbsp;''Y'')，是（等效於）在定義域''(0,∞)''內的''Y''-值平方可積函數，不過也可以選擇其他的函數空間，例如''L''<sup>1</sup>(0,&nbsp;∞,&nbsp;''Y'')。只要選擇了<math>\Psi_t</math>的輔域，就可以定義不同的可觀察性，有以下幾種可觀察性<ref>Tucsnak Definition 6.1.1</ref>：
*在時間''t''有精確可觀察性（exactly observable），若存在''k''<sub>''t''</sub>&nbsp;>&nbsp;0，使得<math>\|\Psi_tx\|\geq k_t\|x\|</math>，在所有 ''x''&nbsp;∈&nbsp;''X'' 時都成立
*在時間''t''有近似可觀察性（approximately observable），若<math>\Psi_t</math>為[[单射]]
*在時間''t''有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 ''k''<sub>''t''</sub>&nbsp;>&nbsp;0 使得<math>\|\Psi_tx\|\geq k_t\|{\rm e}^{At}x\|</math> ，在所有''x''&nbsp;∈&nbsp;''X'' 時都成立

== 可控制性和可觀察性的對偶 ==
和有限維度下的情形類似，可控制性和可觀察性也是對偶的概念（若<math>\Phi</math>域以及輔域<math>\Psi</math>都選用一般的函數空間''L''<sup>2</sup>時），這些不同概念的對偶如下<ref>Tucsnak Theorem 11.2.1</ref>：
*精確可控制性 ↔ 精確可觀察性。
*近似可控制性 ↔ 近似可觀察性。
*零可控制性 ↔ 最終狀態可觀察性。

== 相關條目 ==
* [[控制理论]]
* [[状态空间]]

==腳註==
{{reflist|2}}

==參考資料==
*{{ citation | last1=Curtain| first1=Ruth| last2=Zwart| first2=Hans | title=An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory | year=1995| publisher=Springer}}
*{{ citation | last1=Tucsnak| first1=Marius| last2=Weiss| first2=George | title=Observation and Control for Operator Semigroups | year=2009| publisher=Birkhauser}}
*{{ citation | last1=Staffans| first1=Olof| title=Well-posed linear systems | year=2005| publisher=Cambridge University Press}}
*{{ citation | last1=Luo| first1=Zheng-Hua| last2=Guo| first2=Bao-Zhu | last3=Morgul| first3=Omer |title=Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications | year=1999| publisher=Springer}}
*{{ citation | last1=Lasiecka| first1=Irena | last2=Triggiani| first2=Roberto| title=Control Theory for Partial Differential Equations | year=2000| publisher=Cambridge University Press}}
*{{ citation | last1=Bensoussan| first1=Alain| last2=Da Prato| first2=Giuseppe | last3=Delfour| first3=Michel| last4=Mitter| first4=Sanjoy |title=Representation and Control of Infinite Dimensional Systems | year=2007|publisher=Birkhauser| edition=second}}

{{DEFAULTSORT:Distributed Parameter System}}
[[Category:控制理论| ]]