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在[[代數幾何]]中，一個整[[概形]] <math>X</math> 的'''函數域''' <math>K_X</math> 由 <math>X</math> 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是'''有理函數層'''。[[雙有理幾何]]研究的便是由 <math>K_X</math> 所決定的幾何性質。

==整概形的情形==
===定義===
若 <math>X</math> 是仿射整概形，<math>U \subset X</math> 為開集，則定義 <math>K_X(U)</math> 為 <math>\mathcal{O}_X(U)</math> 的[[分式域]]。此時 <math>K_X</math> 是 <math>\mathcal{O}_X(X)</math> 的分式域的[[常數層]]。

若 <math>X</math> 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 <math>U \subset X</math>，可以一致地定義 <math>K_X(U) := K_V(U \cap V)</math>，其中 <math>V</math> 是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為 <math>X</math> 的'''函數域'''。另一種等價定義是 <math>\mathcal{O}_X</math> 在[[一般點]]的莖。

===函數域與維度===
設 <math>k</math> 為[[体 (数学)|域]]，<math>X</math> 為不可約 <math>k</math>-[[代數簇]]，則 <math>K_X</math> 是 <math>k</math> 的域擴張，有時也寫作 <math>k(X)</math>。此擴張的[[超越次數]]等於 <math>\dim X</math>，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以[[諾特正規化引理]]證明。

===例子===
* <math>\Z</math> 的函數域是 <math>\mathbb{Q}</math>。

以下設 <math>k</math> 為[[体 (数学)|域]]。
* 單點 <math>\mathrm{Spec}(k)</math> 的函數域是 <math>k</math> 本身。
* 仿射直線 <math>\mathbb{A}^1_k</math> 與射影直線 <math>\mathbb{P}^1_k</math> 的函數域都是 <math>k(t)</math>，其中 <math>t</math> 是 <math>k</math> 上的超越元。
* 考慮平面曲線 <math>y^2 = x^5+1</math>，其函數域是 <math>k(x,y)</math>，其中 <math>x,y</math> 是 <math>k</math> 上滿足 <math>y^2=x^5+1</math> 的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 <math>k</math> 為[[有限域]]時，<math>k</math>-代數曲線的函數域與[[數域]]之間有深刻的類比。

==一般概形的情形==
當 <math>X</math> 不是整概形時，<math>\mathcal{O}_X</math> 在開集上的截面可能有零因子，此時分式域並不存在（詳見 Kleiman 的文章）。正解如下：

: 對任一開集 <math>U \subset X</math>，令 <math>S_U</math> 為 <math>\mathcal{O}_X(U)</math> 中的非零因子集，這是一個積性集。命 <math>K_X^p(U) := S_U^{-1} \mathcal{O}_X(U)</math>（即 <math>\mathcal{O}_X(U)</math> 的[[分式環|全分式環]]）。<math>K_X^p</math> 構成 <math>X</math> 上的預層。令 <math>K_X</math> 為其[[層化]]，此即 <math>X</math> 的'''有理函數層'''，它是 <math>\mathcal{O}_X</math>-[[交換環上的代數|代數]]構成的層。

若 <math>X</math> 局部上可以分解成有限個整概形 <math>X = \bigcup X_i</math>（這對局部諾特概形皆成立），則對任何開集 <math>U</math> 有
: <math>K_X(U) = \bigoplus_{X_i \cap U \neq \emptyset} K_{X_i}</math>

此時 <math>K_X</math> 是 <math>X</math> 上的[[擬凝聚層]]。

==與亞純函數域的關係==
在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展[[複分析]]，由此可以定義複解析簇上的[[亞純函數]]；'''亞純函數域'''是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 <math>\mathbb{C}</math>-代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 <math>\mathbb{A}^1_\mathbb{C}</math>）；若加上[[緊緻]]條件，則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。

==文獻==
*{{cite book
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Jean Dieudonné
 | year = 1971
 | title = Éléments de géométrie algébrique
 | edition = 2nd edition
 | publisher = Springer-Verlag
 | location = Berlin; New York
 | language = fr
 | id = ISBN 978-3-540-05113-8
}}
* Kleiman, S., "Misconceptions about ''K<sub>X</sub>''", ''Enseign. Math.'' 25 (1979), 203-206

[[Category:代數幾何|H]]