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[[Image:Simple_polygon.svg|thumb|150px|凹多边形示例]]
'''凹多邊形'''是[[幾何學]]的名詞，為[[多邊形]]分類中的一類。其特徵為至少有一個[[内角]]介於<math>\ 180^\circ</math>與<math>\ 360^\circ</math>之間（這種角又稱作[[優角]]）<ref name=MOR>{{Cite web | url = http://www.mathopenref.com/polygonconcave.html | title = Definition and properties of concave polygons with interactive animation. | accessdate = 2018-12-02 | archive-date = 2017-07-26 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170726201319/http://www.mathopenref.com/polygonconcave.html | dead-url = no}}</ref>。注意上述的內角角度不包含<math>\ 180^\circ</math>與<math>\ 360^\circ</math>，因為會屬於另外一種多邊形——[[退化多邊形]]。

==前置知識==
[[簡單多邊形]]是其任何[[邊 (幾何)|邊]]都不會與自身[[相交]]的[[多邊形]]，而[[簡單多邊形]]可以根據[[凹凸性 (幾何)|凹凸性]]再分成[[凸多邊形]]（{{lang-en|''convex polygon''}}）與'''凹多邊形'''（{{lang-en|''concave polygon''}}）兩類。

==不同的理解角度==
[[初等幾何學]]與[[幾何學]]對於'''凹多邊形'''的定義有所差異。[[初等幾何學]]只討論在[[簡單多邊形]]當中的'''凹多邊形'''，如前一小節所述。

而在[[幾何學]]的正式定義中，'''凹多邊形'''是'''非凸的''' （{{lang-en|''non-convex''}}）多邊形<ref>{{Citation |last=Leff |first=Lawrence |title=Let's Review: Geometry |year=2008 |publisher=Barron's Educational Series |location=Hauppauge, NY |isbn=978-0-7641-4069-3 |pages=66}}</ref>。換言之，因為沒有[[簡單多邊形]]的限制，在後者的定義中，[[星形多邊形]]也是一種'''凹多邊形'''。<ref>{{cite web |author1=Terr |title=ConcavePolygon |url=https://mathworld.wolfram.com/ConcavePolygon.html |website=mathworld |accessdate=2023-03-09 |archive-date=2023-01-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230122095457/https://mathworld.wolfram.com/ConcavePolygon.html |dead-url=no }}</ref>

另外'''凹多邊形'''亦有文獻稱為'''凹角的多邊形''' （{{lang-en|''reentrant polygon''}}）<ref>{{citation |first=J.I. |last=Mason |year=1946 |title=On the angles of a polygon |journal=The Mathematical Gazette |volume=30 |issue=291 |jstor=3611229 |pages=237–238 <!--|do=10.2307/3611229--> |publisher=The Mathematical Association|doi=10.2307/3611229 }}.</ref>。

==簡單多邊形的內角和==
當我們要計算一個<math>\ n\ </math>多邊形的內角和，無論它是[[凸多邊形]]還是'''凹多邊形'''，其內角和皆為<math>\ 180^\circ\times(n-2)</math>。這是因為凹多邊形可以用對角線適當分割成數個凸多邊形，可行的[[演算法]]由 Chazelle 和 Dobkin 在 1985 年提出，此演算法可以將任意凹多邊形分解成最少數量的凸多邊形<ref>{{citation|first1=Bernard|last1=Chazelle|author1-link=Bernard Chazelle|first2=David P.|last2=Dobkin|author2-link=David P. Dobkin|contribution=Optimal convex decompositions|title=Computational Geometry|year=1985|editor-first=G. T.|editor-last=Toussaint|publisher=Elsevier|pages=63–133|url=http://www.cs.princeton.edu/~chazelle/pubs/OptimalConvexDecomp.pdf|accessdate=2018-12-02|archive-date=2019-01-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20190126093238/http://www.cs.princeton.edu/~chazelle/pubs/OptimalConvexDecomp.pdf|dead-url=yes}}.</ref>。

== 參見 ==
*[[多邊形]]
*[[簡單多邊形]]
*[[凸多邊形]]
*[[多邊形的凹凸性]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
* {{MathWorld |urlname=ConcavePolygon |title=Concave Polygon|author=Terr, David; Weisstein, Eric W.}}

{{多邊形}}

[[Category:多邊形]]
[[Category:多邊形類型]]