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[[File:Convex polygon illustration1.svg|thumb|凸集]]
[[File:Convex polygon illustration2.svg|thumb|非凸集（凹集）]]
在[[点集拓扑学]]與[[欧几里得空间]]中，'''凸集'''（Convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的[[线段]]點都落在該點集合中。

== 凸集實例 ==
* [[區間]]是[[實數]]的凸集。
* 依據定義，中空的圓形稱為[[圆]]（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為[[圆盘]]（disk），它是凸集。
* [[凸多邊形]]是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。
* [[单纯形]]是凸集，對於單純形的[[頂點 (幾何)|顶点]]集合來說，單純形是它們的最小凸集，所以單純形也是一個[[凸包]]。
* [[定宽曲线]]是凸集。

== 凸集的延森不等式定義 ==
在度量幾何中，[[琴生不等式]]（Jensen's inequality）為凸集給出一個最健全的解釋，而不必牽涉到[[凹凸性|二階導數]]：
<br>
:假設<math>S</math>為在實或複[[向量空間]]的集。若對於所有<math>x,y \in S</math>和所有<math>t \in [0,1]</math>，有<math>(1-t)x + ty \in S</math>，則稱<math>S</math>為'''凸集'''。
簡單而言，就是<math>S</math>中的任何兩點之間的直線段都屬於<math>S</math>。因此，凸集是一個[[連通空間]]。

== 特殊凸集 ==
特殊凸集是特別給了名稱的凸集，它們可能是具有額外性質的凸集，或是在某種定義下的凸集（非一般定義中的凸集）。
=== 具有額外性質的凸集 ===
* [[絕對凸集]]：若<math>S</math>既是凸集又是[[平衡集]]，則稱<math>S</math>為'''絕對凸'''的。

=== 在某種定義下的凸集 ===
* [[星形域|星形凸集]]：若集<math>S</math>中存在一點<math>x_0</math>，使得由<math>x_0</math>到<math>S</math>中任何一點的直線段都屬於<math>S</math>，則稱<math>S</math>為'''[[星形域]]'''或'''星形凸集'''。星形域是[[簡單連通]]的。

==性質==
若<math>S</math>是凸集，對於任意<math>u_1,u_2,\ldots,u_r \in S</math>，及所有非負數<math>\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r</math>滿足<math>\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_r=1</math>，都有
<math>\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k \in S</math>。這個向量稱為<math>u_1,u_2,\ldots,u_r</math>的'''凸組合'''。

== 非歐幾何的凸集 ==
對於[[非歐幾何|非歐平面]]，可用[[測地線]]來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。

==參見==
* [[凸函數]]
* [[凸包]]

{{泛函分析}}
{{Authority control}}
[[Category:欧几里得几何]]
[[Category:凸分析]]
[[Category:凸几何]]